Aplicando os conceitos da primeira e segunda derivadas. Qual o gráfico da função definida em R por f x = x 3 - 3 x ?

(a)

Passo 1

Beleza, o primeiro passo para identificar gráficos de funções (quase sempre) é ver os pontos em que os gráficos cruzam os eixos, porque são os mais fáceis de verificar.

A função f x = x 3 - 3 x não tem uma constante, então não deve cruzar o eixo y . De fato, nenhum dos gráficos cruza o eixo, então isso não ajuda por enquanto.

Passo 2

Agora vamos pensar nos pontos onde ela cruza o eixo x (ou seja, as raízes do polinômio). Esses pontos vão atender essa equação aqui:

x 3 - 3 x = 0

Vamos arrumar um pouco isso:

x x 2 - 3 = 0

Beleza, tem duas formas de isso dar certo:

x = 0

x 2 - 3 = 0

A primeira raiz é x = 0 , e precisamos resolver essa equação do 2° grau para achar a outra:

x 2 = 3

x = ± 3

Beleza, então temos três raízes, ou seja, nosso gráfico tem que cruzar o eixo x em três pontos. Com isso já podemos eliminar a terceira e a quarta opção.

Como 3 ≅ 1,7 , só olhando a escala dos eixos, já dá pra perceber que a opção correta é o último gráfico, mas vamos continuar para demonstrar como usar derivadas para resolver o problema.

Passo 3

Se procurarmos os pontos com derivada nula:

f x = x 3 - 3 x

f ' x = 3 x 2 - 3 = 0

3 x 2 = 3

x 2 = 1

x = ± 1

Ou seja, nos pontos em que x = ± 1 , a nossa função tem máximos ou mínimos locais. Vamos substiuir os pontos na função:

f 1 = 1 3 - 3 1 = - 2

f - 1 = - 1 3 - 3 - 1 = 2

Então o gráfico que estamos procurando tem extremos nos pontos ( 1 , - 2 ) e ( - 1,2 ) , que é exatamente o que vemos no último gráfico!

Resposta

Letra (e).

Exercícios de Livros Relacionados

Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = e x
Seja f x = x 2 .(a) Estime os valores de f ' ( 0 ) , f ' 1 2 , f ' ( 1 ) e f ' ( 2 ) fazendo uso de uma ferramenta gráfica para dar zoom no gráfico de f .(b) Use a simetria para deduzir os valores de
Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = s e n x
Trace o gráfico da função f x = { x 2,- 1 ≤ x0 - x 2 ,0 ≤ x ≤ 1 f é contínua em x=0 ? f é derivável em x=0 ?
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = x 2 ,- 3 ≤ x ≤ 2