UnB – Cálculo 1 – Lista de Exercícios 10 – Questão 1a
Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo, assíntotas verticais. Note que as derivadas já estão dadas.
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!
O problema nos deu essa função aqui
Mas não só a função , o problema deu também a derivada primeira e segunda:
E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:
- Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
- Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
- Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
- Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
- Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
- Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero
Anota aí!
e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa função é
No nosso caso quando substituímos vemos que o denominador vai a zero, então aqui é um candidato à assíntota vertical! Se calcularmos o limite da função tendendo a esse ponto e encontrarmos , isso significa que temos uma assíntota! Então bora calcular esse limite!
Encontramos um resultado do tipo infinito! Então aqui temos como assíntota vertical!
Passo 3
Agora vamos analisar a derivada
Os pontos críticos são onde a derivada é zero:
Aqui precisamos incluir o ponto como crítico, embora ele não apareça explicitamente. Isso porque é um ponto de descontinuidade da derivada, beleza?
Achamos dois pontos críticos candidatos a máximo ou mínimo: e .
Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades
- De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
- Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local
Então vamos ver em torno de :
Pois o termo e o denominador é negativo também. Assim antes de a derivada assume valores positivos
Pois o termo e o denominador é positivo, assim a derivada assume valores negativos.
Assim em torno de a derivada trocou de sinal: de negativo para positivo, então
Beleza?
Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!
Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso
E decrescente onde ela é negativa:
Tudo bem até aqui?
Bora para a análise da derivada segunda!
Passo 2
Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!
A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função
- Derivada segunda positiva: função côncava para cima
- Derivada segunda negativa: função côncava para baixo
Beleza? Vamos resgatar a derivada segunda lá do passo 1:
Igualando a zero temos:
Aqui precisamos incluir novamente o , temos nosso primeiro ponto de inflexão. E agora temos
Assim temos um ponto de inflexão:
Agora vamos analisar em torno desse ponto
Em resumo temos
Obs.: precisamos ‘quebrar’ o intervalo de concavidade positiva porque o elemento não pertence ao domínio da função!
E é isso! Espero ter ajudado!