UnB – Cálculo 1 – Lista de Exercícios 10 – Questão 1c
Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo, assíntotas verticais. Note que as derivadas já estão dadas.
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!
O problema nos deu essa função aqui
Mas não só a função , o problema deu também a derivada primeira e segunda:
E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:
- Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
- Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
- Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
- Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
- Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
- Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero
Anota aí!
e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa função é
Da função só podemos analisar quanto à existência de assíntotas verticais
No nosso caso não existe capaz de gerar uma indeterminação, então essa função não tem assíntotas verticais, beleza? Agora vamos passar para a análise da derivada!
Passo 3
Agora vamos analisar a derivada
Os pontos críticos são onde a derivada é zero:
Aqui precisamos incluir o ponto como crítico, embora ele não apareça explicitamente. Ele não será ponto de máximo nem mínimo (a função em torno de 0 não troca de sinal), fica tranquilo!
Agora passando para o outro lado temos
Achamos apenas um ponto crítico candidato a máximo ou mínimo: . Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desse ponto. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades
- De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
- Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local
Então vamos ver em torno de :
Pois o termo e o denominador é sempre positivo.
Pois o termo e o denominador é sempre positivo. Então tem troca de sinal: de negativo para positivo:
Beleza?
Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!
Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso
E decrescente onde ela é negativa:
Tudo bem até aqui?
Bora para a análise da derivada segunda!
Passo 2
Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!
A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função
- Derivada segunda positiva: função côncava para cima
- Derivada segunda negativa: função côncava para baixo
Beleza? Vamos resgatar a derivada segunda lá do passo 1:
Igualando a zero temos:
Aqui precisamos incluir novamente o , temos nosso primeiro ponto de inflexão. E agora temos
Assim temos dois pontos de inflexão: e
Agora vamos analisar em torno desses dois pontos. Começando em torno de :
Em resumo temos
E é isso! Espero ter ajudado!