Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

e )   f x = tan ⁡ x 2 ,   x ∈ - π 2 , π 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = tan ⁡ x 2

E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
  • Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando x → ± ∞

Anota aí!

E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = t a n ⁡ ( x 2 )

Existir assíntota vertical depende de termos uma descontinuidade da função. Mas sabemos que a tangente tem uma descontinuidade em x → π 2 , então nesse caso precisamos avaliar o limite em x → ± π 2   , pois o argumento da nossa tangente é x 2

lim x → ± π 2   ⁡ tan ⁡ π 2       2   = lim x → ± π 2 ⁡ tan ⁡ π 2   = + ∞

Ao olharmos para um número encontramos um infinito: assíntota vertical!

Assim temos como assíntota vertical: x = π 2 e x = - π 2  

Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando x → ± ∞ , beleza? Mas nosso domínio é limitado a - π 2 , π 2 , então não há que se falar em assíntotas horizontais!

Então é isso: não temos assíntotas horizontais, no entanto temos duas verticais em x = π 2 e x = - π 2   , bora analisar a derivada primeira?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada f ' ( x ) :

f x = t a n ⁡ ( x 2 )

f ' x = 2 x sec 2 ⁡ ( x 2 )

Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

f ' x = 0

2 x sec 2 ⁡ ( x 2 ) = 0

Para deixar essa equação sendo zero temos que x = 0 e só! Esse será nosso único ponto crítico!

Não tem nenhum outro valor (dentro do nosso intervalo de definição da função) que faça a secante ser zero!

Assim para determinar se esse ponto é máximo ou mínimo precisamos avaliar o sinal que a função derivada assume antes e depois dele

Para x < 0 , a derivada assume valores negativos, para x > 0 , positivos. Então isso significa que em x = 0 temos um mínimo local

x = 0 : m í n i m o   l o c a l

Tudo bem até aqui? E o intervalo de crescimento e decrescimento? Como a função não está definida entre - π 2 , π 2 , ela será decrescente de - π 2 até 0 (onde a derivada é negativa) e de 0 até π 2 será crescente (derivada positiva)

c r e s c e n t e : 0 , π 2

d e c r e s c e n t e : - π 2 , 0

Bora para a análise da derivada segunda!

Passo 4

Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da f ' ' ( x ) em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

  1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
  2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

Beleza?

Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:

f ' x = 2 x sec 2 ⁡ ( x 2 )

E derivar novamente

f ' ' x = 2 sec 2 ⁡ ( x 2 ) + 2 x . 2 sec ⁡ ( x 2 ) tan ⁡ ( x 2 ) . 2 x

f ' ' x = 2 sec 2 ⁡ x 2 + 8 x 2 s e c ⁡ ( x 2 ) t a n ⁡ ( x 2 )

Igualando a zero temos:

2 sec 2 ⁡ x 2 + 8 x 2 s e c ⁡ ( x 2 ) t a n ⁡ ( x 2 ) = 0

- 4 x 2 s e n x 2 = 1

E aqui também não temos valores de x que satisfaça essa equação! Sendo assim não temos pontos de inflexão! E quanto a concavidade? Percebe que a derivada segunda no intervalo de análise assume sempre valores positivos

Assim temos que a função é côncava para cima em qualquer parte do intervalo!

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : s e m p r e

Beleza? Estamos quase lá!

Passo 5

Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!

  • f x = t a n ⁡ ( x 2 )
  • x = 0 : m í n i m o   l o c a l
  • c r e s c e n t e : 0 , π 2
  • d e c r e s c e n t e : - π 2 , 0
  • s e m p r e   c ô n c a v a   p a r a   c i m a
  • n ã o   p o s s u i   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o
  • s e m   a s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s
  • a s s í n t o t a   v e r t i c a l : x = π 2 e em x = - π 2

E nosso gráfico ficou assim:

Ufa terminamos!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

x = 0 : m í n i m o   l o c a l

c r e s c e n t e : 0 , π 2

d e c r e s c e n t e : - π 2 , 0

s e m p r e   c ô n c a v a   p a r a   c i m a

n ã o   p o s s u i   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o

s e m   a s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s

a s s í n t o t a   v e r t i c a l : x = π 2 e em x = - π 2

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