UnB – Cálculo 1 – Lista de Exercícios 10 – Questão 2e
Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!
O problema nos deu essa função aqui
E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:
- Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
- Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
- Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
- Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
- Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
- Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando
Anota aí!
E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!
Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa função é
Existir assíntota vertical depende de termos uma descontinuidade da função. Mas sabemos que a tangente tem uma descontinuidade em , então nesse caso precisamos avaliar o limite em , pois o argumento da nossa tangente é
Ao olharmos para um número encontramos um infinito: assíntota vertical!
Assim temos como assíntota vertical: e
Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando , beleza? Mas nosso domínio é limitado a , então não há que se falar em assíntotas horizontais!
Então é isso: não temos assíntotas horizontais, no entanto temos duas verticais em e , bora analisar a derivada primeira?
Passo 3
Agora vamos analisar a derivada :
Os pontos críticos são onde a derivada é zero:
Para deixar essa equação sendo zero temos que e só! Esse será nosso único ponto crítico!
Não tem nenhum outro valor (dentro do nosso intervalo de definição da função) que faça a secante ser zero!
Assim para determinar se esse ponto é máximo ou mínimo precisamos avaliar o sinal que a função derivada assume antes e depois dele
Para , a derivada assume valores negativos, para , positivos. Então isso significa que em temos um mínimo local
Tudo bem até aqui? E o intervalo de crescimento e decrescimento? Como a função não está definida entre , ela será decrescente de até (onde a derivada é negativa) e de até será crescente (derivada positiva)
Bora para a análise da derivada segunda!
Passo 4
Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!
A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função
- Derivada segunda positiva: função côncava para cima
- Derivada segunda negativa: função côncava para baixo
Beleza?
Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:
E derivar novamente
Igualando a zero temos:
E aqui também não temos valores de que satisfaça essa equação! Sendo assim não temos pontos de inflexão! E quanto a concavidade? Percebe que a derivada segunda no intervalo de análise assume sempre valores positivos
Assim temos que a função é côncava para cima em qualquer parte do intervalo!
Beleza? Estamos quase lá!
Passo 5
Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!
- e em
E nosso gráfico ficou assim:
Ufa terminamos!
E é isso! Espero ter ajudado!
Resposta
e em