Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

f )   f x = arctan ⁡ ( x )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = arctan ⁡ ( x )

E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
  • Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando x → ± ∞

Anota aí!

E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = arctan ⁡ x

Existir assíntota vertical depende de termos uma descontinuidade da função. Mas nesse caso sabemos que a função arco tangente é bem-comportada! Sendo assim não temos assíntotas verticais

Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando x → ± ∞ , beleza? Vamos começar com x → + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ arctan ⁡ x = + π 2

Como encontramos nenhum número, a função tem assíntota horizontal em x = + π 2 , e a função tende para esse valor quando x → + ∞

Agora vamos ver para x → - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ arctan ⁡ ( x ) = - π 2

Olhando para x negativo encontramos outra assíntota horizontal!

Em resumo: sem assíntota vertical, duas assíntotas horizontais: x = + π 2 e x = - π 2

bora analisar a derivada primeira?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada f ' ( x ) :

f x = arctan ⁡ ( x )

f ' x = 1 x 2 + 1

Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

f ' x = 0

1 x 2 + 1 = 0

Aqui não temos nenhum valor que possa ser substituído em x ali na derivada que possa anular essa expressão! Sendo assim, não temos pontos críticos!

Tudo bem até aqui?

Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!

Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso

c r e s c e n t e : s e m p r e

Notem que a derivada sempre assume valores positivos, então a função é sempre crescente!

Tudo bem até aqui?

Bora para a análise da derivada segunda!

Passo 4

Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da f ' ' ( x ) em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

  1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
  2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

Beleza?

Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:

f ' x = 1 x 2 + 1

E derivar novamente

f ' ' x = - 2 x x 2 + 1 2

Igualando a zero temos:

- 2 x x 2 + 1 2 = 0

E assim temos apenas uma solução:

x = 0

Esse é nosso único ponto de inflexão!

Agora vamos analisar o sinal da derivada segunda em torno desse ponto.

Em resumo temos

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - ∞ , 0

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : 0 , + ∞

Beleza? Estamos quase lá!

Passo 5

Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!

  • f x = arctan ⁡ ( x )
  • f 0 = 0
  • s e m   p o n t o s   c r í t i c o s
  • s e m p r e   c r e s c e n t e
  • c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - ∞ , 0
  • c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ( 0 , + ∞ )  
  • s e m   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s  
  • y = π 2 e y = - π 2 : assíntotas horizontais

E nosso gráfico ficou assim:

Ufa terminamos!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

s e m   p o n t o s   c r í t i c o s

s e m p r e   c r e s c e n t e

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - ∞ , 0

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ( 0 , + ∞ )

s e m   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s

y = π 2 e y = - π 2 : assíntotas horizontais

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