Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

h )   f x = x 3 - 2 x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = x 3 - 2 x

E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
  • Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando x → ± ∞

Anota aí!

E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = x 3 - 2 x

Existir assíntota vertical depende de termos uma descontinuidade da função. Vemos que nosso denominador tem um x , e quando x = 0 temos uma indeterminação! Isso significa que temos uma assíntota vertical em x = 0

Precisamos analisar a função em torno desse ponto (limite sanduíche), assim conseguimos fazer um esboço com mais clareza! Aqui é só olhar o sinal da função, aí já conseguimos descobrir se vai para + ∞ ou - ∞ :

lim x → 0 + ⁡ x 3 - 2 x = - ∞

lim x → 0 - ⁡ x 3 - 2 x = + ∞

beleza?

Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando x → ± ∞ , beleza? Vamos começar com x → + ∞  

lim x → + ∞ ⁡ x 3 - 2 x = ∞ ∞

Vamos aplicar a regra de L’Hopital e avaliar novamente o limite

lim x → + ∞ ⁡ x 3 - 2 ' x ' = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 1 = + ∞

Olhando para o + ∞ temos que a função explode, então aqui não temos uma assíntota horizontal. Fazendo de forma análoga, vamos encontrar + ∞ também quando x → - ∞ , então não temos assíntotas horizontais

bora analisar a derivada primeira?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada f ' ( x ) :

f x = x 3 - 2 x

f ' x = 2 x 3 + 2 x 2

Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

f ' x = 0

2 x 3 + 2 x 2 = 0

E igualando a zero temos

2 x 3 + 2 = 0 → x 3 = - 1 → x = - 1

Achamos um ponto crítico!

x = - 1

Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades

  1. De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
  2. Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local

A ideia é testar na derivada um valor antes e um valor depois de cada ponto para saber o sinal que f ' assume

Analisando x = - 2 e x = 2

f ' - 2 < 0

f ' 2 > 0

Assim podemos classificar o ponto crítico:

x = - 1 : m í n i m o   l o c a l

Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!

Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso

c r e s c e n t e : ( - 1,0 ) U ( 0 , + ∞ )

Aqui atenção: precisamos ‘quebrar’ esse intervalo em x = 0 pois ali a derivada primeira não está definida. E como ali a derivada não troca de sinal, não consideramos ponto crítico

E decrescente onde ela é negativa:

d e c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 1 )

Tudo bem até aqui?

Bora para a análise da derivada segunda!

Passo 4

Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da f ' ' ( x ) em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

  1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
  2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

Beleza?

Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:

f ' x = 2 x 3 + 2 x 2 =

E derivar novamente

f ' ' x = 6 x 2 . x 2 - 2 x ( 2 x 3 + 2 ) x 2 2 = 2 ( x 3 - 2 ) x 3

Igualando a zero temos:

2 ( x 3 - 2 ) x 3 = 0

E assim temos apenas uma solução:

x 3 - 2 = 0

x 3 = 2 → x = 2 3

Isso porque o x = 0 não está incluído no intervalo de definição da função, então já excluímos esse ponto!

Esse é nosso único ponto de inflexão!

Agora vamos analisar o sinal da derivada segunda não só em torno desse ponto, mas também em torno de x = 0 , pois ali temos uma assíntota vertical e do passo 2 sabemos que a função se aproxima dessa assíntota por lugares diferentes! (recordar é viver: pelo lado esquerdo ela vem do + ∞ , já do lado direito de - ∞ , então ali a concavidade vai trocar!).

Em resumo temos

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - ∞ , 0 U ( 2 3 ,   + ∞ )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : 0 , 2 3

Beleza? Estamos quase lá!

Passo 5

Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!

  • f x = x 3 - 2 x
  • f 0 : n ã o   c r u z a   o   e i x o   y
  • p o n t o s   c r í t i c o s : x = - 1 ( m í n i m o   l o c a l )
  • c r e s c e n t e : - 1,0 U 0 , + ∞ ; d e c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 1 )
  • x = 2 3 : p o n t o   d e   i n f l e x ã o
  • c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - ∞ , 0 U ( 2 3 ,   + ∞ )
  • c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : 0 , 2 3
  • s e m   a s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s ; x = 0 : a s s í n t o t a   v e r t i c a l  
  • lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = - ∞ ;   lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = + ∞

E nosso gráfico ficou assim:

Ufa terminamos!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

p o n t o s   c r í t i c o s : x = - 1 ( m í n i m o   l o c a l )

c r e s c e n t e : - 1,0 U 0 , + ∞ ; d e c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 1 )

x = 2 3 : p o n t o   d e   i n f l e x ã o

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - ∞ , 0 U ( 2 3 ,   + ∞ )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : 0 , 2 3

s e m   a s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s ; x = 0 : a s s í n t o t a   v e r t i c a l  

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = - ∞ ;   lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = + ∞

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