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Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

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Enunciado

UnB – Cálculo 1 – Lista de Exercícios 10 – Questão 2i

Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

i )   f x = 2 x 2 - 8 x 2 - 16

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = 2 x 2 - 8 x 2 - 16

E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
  • Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando x → ± ∞

Anota aí!

E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = 2 x 2 - 8 x 2 - 16

Existir assíntota vertical depende de termos uma descontinuidade da função. Vemos que nosso denominador tem um x 2 = 16 , e quando x = 4 ou x = - 4 temos uma indeterminação! Isso significa que temos duas assíntotas verticais!

Precisamos analisar a função em torno desse ponto (limite sanduíche), assim conseguimos fazer um esboço com mais clareza! Aqui é só olhar o sinal da função, aí já conseguimos descobrir se vai para + ∞ ou - ∞ :

Começando a análise em torno de x = - 4

lim x → - 4 + ⁡ 2 x 2 - 8 x 2 - 16 = - ∞

lim x → - 4 - ⁡ x 3 - 2 x = + ∞

beleza?

Agora em torno de x = 4 :

lim x → 4 + ⁡ 2 x 2 - 8 x 2 - 16 = + ∞

lim x → 4 - ⁡ x 3 - 2 x = - ∞

Tudo bem até aqui?

Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando x → ± ∞ , beleza? Vamos começar com x → + ∞  

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 - 8 x 2 - 16 = 2

Olhando para o + ∞ temos que a função tende ao valor 2! então aqui temos uma assíntota horizontal em y = 2 . Fazendo de forma análoga, vamos encontrar y = 2 também quando x → - ∞ , então temos assíntotas horizontais para os dois lados!

bora analisar a derivada primeira?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada f ' ( x ) :

f x = 2 x 2 - 8 x 2 - 16

f ' x = 4 x x 2 - 16 - 2 x ( 2 x 2 - 8 ) x 2 - 16 2 = - 48 x x 2 - 16 2

Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

f ' x = 0

- 48 x x 2 - 16 2 = 0

Achamos um ponto crítico!

x = 0

Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades

  1. De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
  2. Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local

A ideia é testar na derivada um valor antes e um valor depois de cada ponto para saber o sinal que f ' assume

Analisando x = - 1 e x = 1

f ' - 1 > 0

f ' 1 < 0

Assim podemos classificar o ponto crítico:

x = 0 : m á x i m o   l o c a l

Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!

Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso

c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 4 ) U ( - 4 , 0 )

x = - 4 pois ali a função não está definida. E mesmo que ali a derivada troque de sinal (não é o caso, mas pode aparecer), não consideramos ponto crítico!

E decrescente onde ela é negativa:

d e c r e s c e n t e : ( 0 , 4 ) U ( 4 , + ∞ )

Tudo bem até aqui?

Bora para a análise da derivada segunda!

Passo 4

Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da f ' ' ( x ) em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

  1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
  2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

Beleza?

Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:

f ' x = - 48 x x 2 - 16 2 =

E derivar novamente

f ' ' x = - 48 . [ 1 . x 2 - 16 - 4 x x 2 - 16 . x ] x 2 - 16 2 2 = - 48 ( - 3 x 2 - 16 ) x 2 - 16 3

Igualando a zero temos:

- 48 ( - 3 x 2 - 16 ) x 2 - 16 3 = 0

É interessante observar aqui que nenhum valor de x é capaz de zerar o numerador dessa fração! O termo ( - 3 x 2 - 16 ) não possui raiz real, então não temos pontos de inflexão!

Mas e agora? Como analisar a concavidade?

Agora vamos analisar o sinal da derivada segunda em torno das assíntotas, pois vimos que a função se aproxima dessas retas por infinitos diferentes, então ali você pode identificar que tem troca de concavidade!

Em resumo temos

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - ∞ , - 4 U ( 4 ,   + ∞ )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - 4 , 4

Beleza? Estamos quase lá!

Passo 5

Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!

  • f x = 2 x 2 - 8 x 2 - 16
  • f 0 = 1 2
  • p o n t o s   c r í t i c o s : x = 0 ( m á x i m o   l o c a l )
  • c r e s c e n t e : - ∞ , - 4 U - 4 , 0 ; d e c r e s c e n t e : ( 0 , 4 ) U ( 4 , ∞ )
  • s e m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o
  • c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - ∞ , - 4 U ( 4 ,   + ∞ )
  • c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - 4 , 4
  • y = 2 :   a s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s ;
  • x = 4 ,   a = - 4 : a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s  
  • lim x → 4 + ⁡ f x = + ∞ ; lim x → 4 - ⁡ f x = - ∞  
  • lim x → - 4 - ⁡ f ( x ) = + ∞ ; lim x → - 4 + ⁡ f ( x ) = - ∞

E nosso gráfico ficou assim:

Ufa terminamos!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

p o n t o s   c r í t i c o s : x = 0 ( m á x i m o   l o c a l )

c r e s c e n t e : - ∞ , - 4 U - 4,0 ; d e c r e s c e n t e : ( 0,4 ) U ( 4 , ∞ )

s e m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - ∞ , - 4 U ( 4 ,   + ∞ )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - 4,4

y = 2 :   a s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s ;

x = 4 ,   a = - 4 : a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s

lim x → 4 + ⁡ f x = + ∞ ; lim x → 4 - ⁡ f x = - ∞

lim x → - 4 - ⁡ f ( x ) = + ∞ ; lim x → - 4 + ⁡ f ( x ) = - ∞

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