Para cada uma das funções abaixo, determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo. Determine as (possíveis) assíntotas e, finalmente, faça um esboço do gráfico da função.

l )   f x = x 2 - 1 x 3

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = x 2 - 1 x 3

E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Pontos críticos: pontos onde a derivada é nula
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
  • Assíntotas verticais: pontos em que o denominador da função é zero; Assíntotas horizontais: comportamento da função quando x → ± ∞

Anota aí!

E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar analisando as assíntotas, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = x 2 - 1 x 3

Existir assíntota vertical depende de termos uma descontinuidade da função. Vemos que nosso denominador tem um x , e quando x = 0 temos uma indeterminação! Isso significa que temos uma assíntota vertical em x = 0

Precisamos analisar a função em torno desse ponto (limite sanduíche), assim conseguimos fazer um esboço com mais clareza! Aqui é só olhar o sinal da função, aí já conseguimos descobrir se vai para + ∞ ou - ∞ :

lim x → 0 + ⁡ x 2 - 1 x 3 = + ∞

lim x → 0 - ⁡ x 2 - 1 x 3 = - ∞

beleza?

Para verificar assíntotas horizontais precisamos calcular o limite da função quando x → ± ∞ , beleza? Vamos começar com x → + ∞  

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 1 x 3 = 0

Olhando para o + ∞ temos que a função tende a 0, então aqui temos uma assíntota horizontal em y = 0 . Fazendo de forma análoga, vamos encontrar 0 também quando x → - ∞ , então temos assíntotas horizontais para os dois lados!

Beleza?

bora analisar a derivada primeira?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada f ' ( x ) :

f x = x 2 - 1 x 3

f ' x = 2 x . x 3 - 3 x 2 ( x 2 - 1 ) x 3 2 = - x 2 + 3 x 4

Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

f ' x = 0

- x 2 + 3 x 4 = 0

E igualando a zero temos

- x 2 + 3 = 0 → x 2 = 3 → x = ± 3

Achamos dois pontos críticos!

x = - 3 ,   x = 3

Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades

  1. De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
  2. Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local

A ideia é testar na derivada um valor antes e um valor depois de cada ponto para saber o sinal que f ' assume

Analisando x = - 2 ,   x = 1 e x = 2

f ' - 2 < 0

f ' 1 > 0

f ' 2 < 0

Assim podemos classificar os pontos críticos:

x = - 3 : m í n i m o   l o c a l

x = 3 : m á x i m o   l o c a l

Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada: intervalo de crescimento e decrescimento!

Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso

c r e s c e n t e : ( - 3 , 0 ) U ( 0 , + 3 )

Aqui atenção: precisamos ‘quebrar’ esse intervalo em x = 0 pois ali a função não está definida. E por isso não consideramos x = 0   ponto crítico

E decrescente onde ela é negativa:

d e c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 3 ) U ( 3 ,   + ∞ )

Tudo bem até aqui?

Bora para a análise da derivada segunda!

Passo 4

Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da f ' ' ( x ) em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

  1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
  2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

Beleza?

Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:

f ' x = - x 2 + 3 x 4 =

E derivar novamente

f ' ' x = ( - 2 x ) . x 4 - 4 x 3 ( - x 2 + 3 ) x 4 2 = - 2 ( - x 2 + 6 ) x 5

Igualando a zero temos:

- 2 ( - x 2 + 6 ) x 5 = 0

E assim temos duas soluções:

( - x 2 + 6 ) = 0

→ x = ± 6

Isso porque o x = 0 não está incluído no intervalo de definição da função, então já excluímos esse ponto!

x = - 6 ; x = 6

Esses são nossos pontos de inflexão! Mas atenção! Para fazer análise do sinal, precisamos incluir o ponto x = 0 , pois ali temos uma assíntota vertical!

Em resumo temos

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - 6 , 0 U ( 6 ,   + ∞ )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ , - 6 U ( 0 , 6 )

Beleza? Estamos quase lá!

Passo 5

Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!

  • f x = x 2 - 1 x 3
  • f 0 : n ã o   c r u z a   o   e i x o   y
  • p o n t o s   c r í t i c o s : x = - 3 m í n i m o   l o c a l ,   x = 3 ( m á x i m o   l o c a l )  
  • c r e s c e n t e : - 3 , 0 U 0 , 3 ; d e c r e s c e n t e : - ∞ , - 3 U 3 ,   + ∞
  • x = - 6 ,   x = 6 : p o n t o   d e   i n f l e x ã o
  • c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - 6 , 0 U ( 6 ,   + ∞ )
  • c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ , - 6 U ( 0 , 6 )
  • y = 0 :   a s s í n t o t a   h o r i z o n t a l ; x = 0 : a s s í n t o t a   v e r t i c a l  

E nosso gráfico ficou assim:

Ufa terminamos!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

p o n t o s   c r í t i c o s : x = - 3 m í n i m o   l o c a l ,   x = 3 ( m á x i m o   l o c a l )  

c r e s c e n t e : - 3 , 0 U 0 , 3 ; d e c r e s c e n t e : - ∞ , - 3 U 3 ,   + ∞

x = - 6 ,   x = 6 : p o n t o   d e   i n f l e x ã o

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - 6 , 0 U ( 6 ,   + ∞ )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ , - 6 U ( 0 , 6 )

y = 0 :   a s s í n t o t a   h o r i z o n t a l ; x = 0 : a s s í n t o t a   v e r t i c a l  

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