Esboço de Curvas
Considere :
é contínua em ? é derivável em ?
Calcule e .
Determine os pontos críticos de .
Em quais intervalos é crescente?
Em quais intervalos é decrescente?
Determine, se houver, os pontos de mínimo local de .
Determine, se houver, os pontos de máximo local de .
Em quais intervalos, se houver, o gráfico de é côncavo para cima?
Em quais intervalos, se houver, o gráfico de é côncavo para baixo?
Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de .
Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Para descobrir se a função é contínua no temos que calcular os limites laterais pelos dois lados e ver se eles são iguais. Como vemos, a função é uma em e outra em :
Ora, os limites laterais batem, então a função é contínua em.
Passo 2
Já para ver se a função é derivável aplicamos o limite da definição da derivada e vemos se lateralmente os limites batem. A definição é essa aqui:
Vamos ver se os limites laterais desse termo batem, começando calculando :
Para fugir da indeterminação usamos L’Hospital:
Vamos fazer agora para :
Como vemos, os limites laterais da definição da derivada bateram, o que significa que é derivável em .
Passo 3
Vamos calcular os dois limites pedidos:
O outro limite agora:
Pelos cálculos dos limites notamos que há uma assíntota vertical: . Como não temos descontinuidades na função nós não temos assíntotas verticais.
Passo 4
Vamos derivar a função :
Na região de temos que , que é um termo que é negativo quando está entre suas raízes, e . No resto do espaço, a parábola tem valor positivo. Há ponto crítico onde ela vale , que é . Já no domínio de temos que o termo será negativo, já que é positivo sempre e o negativo, para . Há, porém, um ponto onde essa derivada será nula, justamente onde (chegamos a concluir isso pela definição da derivada, no Passo ).
Conclui-se, há dois pontos críticos, um em e outro em .
Passo 5
Para analisar o crescimento e decrescimento da função nós devemos observar o sinal da derivada. Como visto no Passo 4, a derivada será positiva para todo sendo nula só em e e sendo positiva para os outros valores de . Ou seja, a função é sempre crescente, não havendo região de decrescimento, com o detalhe da derivada ser nula em :
Passo 6
O ponto crítico é tem derivada negativa antes e depois desse ponto, o que não configura nem máximo nem mínimo local. Nós vemos também tem derivada positiva antes e negativa depois, sendo um ponto de máximo.
Passo 7
Vamos calcular e analisar seu sinal para descobrir quais são suas regiões de crescimento e decrescimento:
Vemos que onde a concavidade é para baixo quando e para cima onde . Já na região onde vemos que o sinal só depende de do , uma parábola com boca para cima que é negativa entre suas raízes e positiva no resto do domínio. Procurando suas raízes:
Assim, como essa derivada só é válida para , vemos que sua concavidade será positiva para e negativa para . Em resumo, temos:
Passo 8
Os únicos pontos em que a é nula são em e e temos em uma mudança de concavidade súbita, por mais que não seja nula a derivada segunda.
Passo 9
Vamos reunir todas as informações para fazer o nosso esboço:
Vamos fazer o esboço:
