Esboço de Curvas
Considere :
é contínua em ? é derivável em ?
Calcule e .
Determine os pontos críticos de .
Em quais intervalos é crescente?
Em quais intervalos é decrescente?
Determine, se houver, os pontos de mínimo local de .
Determine, se houver, os pontos de máximo local de .
Em quais intervalos, se houver, o gráfico de é côncavo para cima?
Em quais intervalos, se houver, o gráfico de é côncavo para baixo?
Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de .
Utilizando as informações obtidas abaixo nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de .
Passo 1
Para descobrir se a função é contínua no temos que calcular os limites laterais pelos dois lados e ver se eles são iguais. Como vemos, a função é uma em e outra em :
Ora, os limites laterais batem, então a função é contínua em.
Passo 2
Já para ver se a função é derivável aplicamos o limite da definição da derivada e vemos se lateralmente os limites batem. A definição é essa aqui:
Vamos ver se os limites laterais desse termo batem, começando calculando :
Para fugir da indeterminação usamos L’Hospital:
Vamos fazer agora para :
Como vemos, os limites laterais da definição da derivada não bateram, o que significa que não é derivável em .
Passo 3
Vamos calcular os dois limites pedidos:
O outro limite agora:
Pelos cálculos dos limites notamos que há uma assíntota vertical: . Como não temos descontinuidades na função nós não temos assíntotas verticais.
Passo 4
Vamos derivar a função :
Na região de temos que , que tem seu denominador sempre positivo e numerador também positivo nessa mesma região, onde , sendo que essa derivada seria nula em , mas isso nada vale já que esse ponto não está definido para essa derivada. Não existem pontos críticos nessa região.
No resto do espaço, é um produto entre uma exponencial (sempre positiva) e o , positivo para e negativo quando . Há ponto crítico onde ela vale , que é
Conclui-se, há um ponto crítico, em .
Passo 5
Para analisar o crescimento e decrescimento da função nós devemos observar o sinal da derivada. Como visto no Passo , a derivada será positiva para todo e sendo nula só em e sendo positiva para . Ou seja, a função é sempre crescente, não havendo região de decrescimento, com o detalhe da derivada ser nula em :
Passo 6
O ponto crítico é tem derivada negativa antes e positiva depois desse ponto, o que configura ponto de mínimo:
Passo 7
Vamos calcular e analisar seu sinal para descobrir quais são suas regiões de crescimento e decrescimento:
Vemos que onde o termo tem um denominador que será sempre positivo e o denominador vai ter o sinal dependendo do seguinte:
Assim, como essa derivada segunda só vale para vemos que a concavidade será para cima onde e para baixo quando . Ponto de inflexão em .
Já no termo em que temos um cara que é o produto de uma exponencial com uma parábola com boca para cima e sem raízes reais, o que significa que o termo é sempre positivo!
Passo 8
Os únicos pontos em que a muda de sinal são e .
Passo 9
Vamos reunir todas as informações para fazer o nosso esboço:
Vamos fazer o esboço:
