Considere a função

f x = 3 x - 3 x ²  

definida para x ≠ 0 .

  1. Determine a(s) assíntota(s), calculando os imites necessários.
  2. Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como extremo(s) local(is).
  3. Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão.
  4. Esboce o gráfico

Passo 1

Pra calcular as assíntotas horizontais temos que fazer os limites com x → ± ∞ . Vamos lá:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 3 x 2     →

lim x → + ∞ ⁡ 3 x x ² - 3 x 2 x 2 x ²   = 0 - 0 1 = 0

Opa! Temos uma assíntota horizontal em y = 0 .

Vamos ver se tem outra horizontal.

l i m x → - ∞ 3 x - 3 x 2   →

lim x → - ∞ ⁡ 3 x x ² - 3 x 2 x 2 x ²   = - 0 - 0 1 = 0

Então y = 0 é assíntota tanto para + ∞ quanto para - ∞ .

Passo 2

As assíntotas verticais só existem se a função tiver descontinuidade. Nesse caso, a função é descontínua para x = 0 . Por isso, vamos verificar os limites para 0 + e 0 - .

l i m x → 0 + 3 x - 3 x 2 =

l i m x → 0 + 3 x - 3 1 x 2 =

l i m x → 0 + 3 x - 3 . l i m x → 0 + 1 x 2 =

- 3 l i m x → 0 + 1 x 2 = - 3 ∞ = - ∞

Assim, x = 0 é uma assíntota vertical.

O mesmo irá acontecer para x → 0 - :

l i m x → 0 - 3 x - 3 x 2 = - ∞

Passo 3

Para saber os intervalos de crescimento e decrescimento temos que analisar o sinal da derivada de f . Então vamos começar derivando a função:

f ' x = 3 x - 3 ' x 2 - ( 3 x - 3 ) ( x 2 ) ' ( x 2 ) ² =

f ' x = 3 x 2 - ( 3 x - 3 ) 2 x x 4 =

f ' x = 3 x 2 - 6 x 2 + 6 x x 4 =

f ' x = - 3 x 2 + 6 x x 4 =

f ' x = - 3 x + 6 x ³

Agora vamos descobrir seus pontos críticos:

- 3 x + 6 x ³ = 0

- 3 x + 6 = 0

x = 2

Passo 4

Agora vamos analisar o sinal da derivada:

f ' x = - 3 x + 6 x ³

1º) Primeiro comecemos com o sinal da reta - 3 x + 6 dada no denominador:

2º) Já o denominador, o x 3 , tem mais ou menos essa cara aqui oh:

A divisão dos sinais do cima pelo de baixo nos dará os sinais da primeira derivada, veja só:

Esses sinais são cruciais para encontrar onde a função f cresce ou decresce, pois como sabemos onde a derivada é negativa, a função decresce, já onde a derivada é positiva... Bem, acho que você já entendeu neh? Podemos resumir assim então:

Veja bem que por essas setinhas que representam onde a função cresce e decresce, até podemos saber onde a função tem um ponto de máximo local: no x = 2 , afinal a seta cresce antes do 2 e depois decresce.

Cuidado! Não podemos falar que 0 é um ponto de mínimo local, pois zero nem pertence ao domínio da função. 0 é um ponto problemático, lembra? Inclusive descobrimos que 0 é assíntota vertical

Passo 5

Temos que descobrir onde a função é côncava pra cima ou côncava pra baixo. Como fazer isso? Analisando o sinal da segunda derivada. Então vamos derivar f ' ( x ) :

f ' ' x = - 3 x + 6 ' x 3 - ( - 3 x + 6 ) ( x 3 ) ' ( x ³ ) ²

f ' ' x = - 3 x ³ - ( - 3 x + 6 ) ( 3 x 2 ) x 6

f ' ' x = - 3 x ³ - ( - 9 x ³ + 18 x ² ) x 6

f ' ' x = - 3 x 3 + 9 x 3 - 18 x ² x 6

f ' ' x = 6 x 3 - 18 x ² x 6

f ' ' x = 6 x - 18 x 4

Perceba uma coisa interessante. Como o denominar possui expoente par, ele será sempre positivo. Logo, o sinal da segunda derivada só depende de 6 x - 18 .

6 x - 18 = 0

6 x = 18

x = 3

Analisando o sinal e verificando a concavidade:

Quando x < 3 → f ' ' x < 0 → C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Quando x > 3 → f ' ' x > 0 → C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a  

Passo 6

Agora é só colocar tudo que encontramos no plano cartesiano e esboçar o gráfico.

Passo 7

Resposta

a. y = 0 e x = 0

b. Intervalos de decrescimento: x < 0   e   x > 2

Intervalo de crescimento: 0 < x < 2

Extremo local: x = 2

c. Quando x < 3 → C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Quando x > 3 → C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a  

d.

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