Considere a funçao f: R \ {0} → R definida por:

f(x) = raiz(x^2 + 1) / x

Sobre as assíntotas do gráfico de f ́é correto afirmar que:

a) y = -1 e y = 1 são as únicas assíntotas horizontais e x = 0 é a única assíntotas vertical.

b) y = 1 é a única assíntota horizontal e x = 0 é a única assíntotas vertical.

c) y = 1 é a única assíntota horizontal e não existe assíntotas vertical.

d) y = -1 e y = 1 são as únicas assíntotas horizontais e não existe assíntota vertical.

e) Não existem assíntotas horizontais e x = 0 é a única assíntotas vertical.

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Uma bem clássica sobre assíntotas

Nosso objetivo é quais são as assíntotas verticais e horizontais de f

f ( x ) = x 2 + 1 x

Lembram das definições de assíntotas? Vamos dar uma revisada. As Assíntotas verticais ocorrem quando temos uma divisão zero. E as horizontais geralmente ocorrem quando os limites nos infinito convergem para um valor. Então, vamos começar vendo a Assíntota vertical. Já de cara, pela definição. vemos que a assíntota vai ocorrer quando x = 0 . Então só nos resta as assíntotas horizontais!!!

Passo 2

Para calcular as assíntotas horizontais precisamos verificar os limites no infinito. Isto é:

l i m x → ∞ f ( x )

E

l i m x → - ∞ f ( x )

Vamos começar calculando

l i m x → ∞ f ( x )

= l i m x → ∞ x 2 + 1 x

Colando x em evidência

= l i m x → ∞ | x | 1 + 1 / x 2 x

= l i m x → ∞ s i n a l ( x ) * 1 + 1 / x 2

calculando o limite

= 1

Ou seja, temos uma assíntota horizontal de y = 1

Agora, vamos calcular l i m x → - ∞ f ( x ) . Reaproveitando as contas que já fizemos chegamos na parte que

= l i m x → - ∞ s i n a l ( x ) * 1 + 1 / x 2

calculando o limite

= - 1

Ou seja, temos uma assíntota horizontal de y = - 1

E com isso conseguimos mostrar que a função f tem duas assíntotas horizontais y = - 1 e y = 1 e uma assíntota vertical x = 0 . As quais estão presentes na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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