Considere a função

f x = x 3 - 1 x

  1. Determine o domínio, a primeira derivada e estude o crescimento e decrescimento de f
  2. Determine a derivada de segunda ordem, estude a concavidade de f e determine os possíveis pontos de inflexão
  3. Determine, caso exista, os pontos críticos, de máximos locais, máximos globais, mínimos locais, mínimos globais de f . Justifique o motivo de ser local ou global.
  4. Determine as assíntotas e faça o esboço na figura fornecida abaixo

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema nos deu essa função aqui

f x = x 3 - 1 x

E perguntou uma série de itens: domínio, primeira derivada (crescimento/decrescimento, ponto de máximo/mínimo), segunda derivada (concavidade e pontos de inflexão), assíntotas e por fim o gráfico. Mas você lembra como encontrar todas essas coisas?

Vamos começar relembrando algumas coisas então:

  • O domínio de uma função é o conjunto de entradas para os quais a função é real e definida. Então aqui é só investigar onde a função não existe e retirar dos reais!
  • Em relação a primeira derivada temos: pontos críticos (onde a derivada primeira é zero), crescimento ( f ' > 0 ), decrescimento ( f ' < 0 ), pontos de máximo (sinal da derivada troca de + → - ) e mínimo (troca de - → + ). Então aqui a ideia é estudar o sinal da primeira derivada
  • Em relação a segunda derivada temos: concavidades (positiva onde f ' ' > 0 e negativa onde f ' ' < 0 ) e pontos de inflexão: onde a curvatura troca de sinal!
  • Beleza?

    Ainda temos as assíntotas,

  • Verticais: analisamos o limite em torno da valores que explodem a função
  • Horizontais: analisamos o limite da função indo para x → ± ∞

E aí por fim juntamos todas essas informações e esboçamos um gráfico!

Mas relaxa, vou fazer com você!

Passo 2

Vamos começar com o domínio da função

f x = x 3 - 1 x

Temos uma indeterminação quando x = 0 , então nesse ponto a função não está definida!

Não temos mais outra (busque sempre por divisão por zero e raiz de índice par de número negativo, essas coisas não podem acontecer em funções reais!)

Logo nosso domínio são todos os elementos dos reais menos o zero

D o m f = - ∞ , 0 U 0 , + ∞

Beleza?

Passo 3

Agora vamos calcular a primeira derivada e os analisar o sinal de f ' ( x ) :

f x = x 3 - 1 x = x 3 3 - 1 x

f ( x ) = x 2 - 1 x

Derivando e igualando a zero:

f ' x = 2 x + 1 x 2 = 0

x 3 = - 1 2 → x = - 1 2 3

x = - 0,79 ≅ - 0,8

Esse é nosso único ponto crítico! É onde a derivada é zero!

Agora vamos analisar o sinal da função derivada em torno desse ponto:

Isso significa que em de x = - 1 2 3 , a função apresenta um ponto de mínimo local

Não sabemos se é (mínimo) global até fazer os limites no infinito.

Os intervalos de crescimento e decrescimento são:

c r e s c i m e n t o : - 1 2 3 ,   + ∞

d e c r e s c i m e n t o : - ∞ , - 1 2 3

Tudo bem até aqui? As análises envolvendo a primeira derivada acabaram, bora pra segunda?

Passo 4

Agora vamos analisar o sinal da função derivada segunda:

f ' x = 2 x + 1 x 2

Derivando a igualando a zero temos:

f ' ' x = 2 - 2 x 3 = 0

x 3 = 1 → x = 1

Nosso candidato para ponto de inflexão é

x = 1

Agora vamos analisar o sinal da função derivada segunda em torno desse ponto e em torno de x = 0 , pois ali temos uma indeterminação

x = 0 não deixe a derivada segunda nula, há troca de sinal da derivada segunda e portanto é um ponto de inflexão.

Vamos encontrar esse comportamento quando analisarmos o limite em torno de zero (assíntotas)

Vamos verificar a concavidade? Positiva (para cima) é onde a derivada segunda é positiva, e negativa (para baixo) onde ela é negativa

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : ( - ∞ , 0 ) U ( 1 , + ∞ )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ( 0,1 )

Passo 5

Nosso próximo passo é verificar as assíntotas!

  • Começando pelas verticais: precisamos analisar o limite bilateral em torno da indeterminação da função:
  • lim x → 0 + ⁡ x 3 - 1 x = - 1 0 + = - ∞

    lim x → 0 - ⁡ x 3 - 1 x = - 1 0 - = + ∞

    x = 0 !

  • Assíntotas horizontais: investigar os limites em ± ∞ da função

lim x → + ∞ ⁡ x 3 - 1 x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 1 x ⏝ = 0 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 1 x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 1 x ⏝ = 0 = + ∞

Não temos assíntotas horizontais!

Passo 6

Partiu juntar tudo isso e esboçar o gráfico? Juntando todas as informações e fazendo o esboço no gráfico que o problema deu temos o seguinte

Vemos que o comportamento é bem parecido com as tendências que ele alinhou! Ótimo! Agora vamos ver como ele fica em um software de gráfico mesmo (ninguém merece esse esboço feio feito à mão! haha)

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter ajudado!

=D

Resposta

  D o m f = - ∞ , 0 U 0 , + ∞

c r e s c i m e n t o : - 1 2 3 ,   + ∞

d e c r e s c i m e n t o : - ∞ , - 1 2 3

m í n i m o   l o c a l :   x = - 1 2 3

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : ( - ∞ , 0 ) U ( 1 , + ∞ )

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : ( 0,1 )

p o n t o   d e   i n f l e x ã o :   x = 1 ,   x = 0

a s s í n t o t a   v e r t i c a l : x = 0

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