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Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

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Enunciado

9. Considere as funções f , g definidas por

f x = x 2 ,   s e   x < - 1 x ,   s e - 1 ≤ x < 1 - x 2 ,   s e   x ≥ 1

E

g x = - x 2 - 1 4 ,   s e   x < 0 x 2 + 1 4 ,   s e   x ≥ 0

A figura que melhor representa o gráfico de f + g é:

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O enunciado nos forneceu quem é f e g e pediu para indicarmos como seria o gráfico de f + g .

Mas repara que f e g são funções que mudam de comportamento de acordo com o intervalo.

f x = x 2 ,   s e   x < - 1 x ,   s e - 1 ≤ x < 1 - x 2 ,   s e   x ≥ 1

E

g x = - x 2 - 1 4 ,   s e   x < 0 x 2 + 1 4 ,   s e   x ≥ 0

Então vamos ter que construir uma nossa função e entender o comportamento dela para cada intervalo.

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar para valores menores que x < - 1 .

Olhando para f x temos o seguinte comportamento,

f x = x 2

Olhando para g x vamos ter,

- x 2 - 1 4

Fazendo f + g ,

f + g = x 2 - x 2 - 1 4 = 1 4

Ou seja,

f + g = 1 4 ,   s e   x < - 1

Passo 3

Agora vamos pegar valores no intervalo - 1 < x < 0 .

Olhando para f x temos o seguinte comportamento,

f x = x

Olhando para g x vamos ter,

- x 2 - 1 4

Fazendo f + g ,

f + g = x - x 2 - 1 4 = - x 2 + x - 1 4

Ou seja,

f + g = - x 2 + x - 1 4 ,   s e - 1 ≤ x < 0

Passo 4

Agora vamos pegar valores no intervalo 0 < x < 1 .

Olhando para f x temos o seguinte comportamento,

f x = x

Olhando para g x vamos ter,

+ x 2 + 1 4

Fazendo f + g ,

f + g = x + x 2 + 1 4 = + x 2 + x + 1 4

Ou seja,

f + g = + x 2 + x + 1 4 ,   s e   0 ≤ x < 1

Passo 5

Agora vamos pegar valores no intervalo x ≥ 1 .

Olhando para f x temos o seguinte comportamento,

f x = - x 2

Olhando para g x vamos ter,

+ x 2 + 1 4

Fazendo f + g ,

f + g = - x 2 + x 2 + 1 4 = + 1 4

Ou seja,

f + g = + 1 4 ,   s e   1 ≤ x

Passo 6

Juntando tudo ficamos com

f + g = 1 4 ,   s e   x < - 1 - x 2 + x - 1 4 ,   s e - 1 ≤ x < 0 + x 2 + x + 1 4 ,   s e   0 ≤ x < 1 + 1 4 ,   s e   1 ≤ x

Ou seja, nosso gráfico tem que ser: uma constante para valores menores que - 1 (com uma bolinha aberta nesse ponto); uma parábola para baixo entre - 1 (com bolinha fechada) e 0 (com bolinha aberta); uma parábola para cima entre 0 (com bolinha fechada) e 1 (com bolinha aberta); e uma constante a partie de x = 1 (com bolinha fechada).

Logo a melhor opção que descreve essas características será:

Resposta

b

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