Considere as funções deriváveis f e g cujos gráficos estão esboçados abaixo:

Seja h = f g x . Sabendo que x = 1 é ponto de mínimo local de g e que g 1 = 1 , é correto afirmar que

  1. h ' 1 > 0
  2. h ' 1 < 0
  3. x = 1 é ponto de inflexão de h
  4. x = 1 é ponto de mínimo local de h
  5. x = 1 é ponto de máximo local de h

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esses dois gráficos aqui

Notem que são de duas funções diferentes: f e g . E elas estão ligadas por isso aqui

h = f ( g ( x ) )

elas fazem parte de uma outra função! Aí o problema faz uma série de afirmações sobre a derivada de h e se esse ponto é de máximo, mínimo etc...

E agora, como resolver isso?

Quando temos uma função composta, para achar sua derivada precisamos usar a regra da cadeia

h ( x ) = f g x

h ' x = f ' g x . g ' x

Como g 1 = 1 então a derivada de h em 1 é

h ' 1 = f ' g 1 . g ' 1

Então temos que

h ' 1 = f ' 1 .   g ' ( 1 )

Sabemos também que um ponto de máximo é quando a derivada passa de valores positivos para negativos. E que o de mínimo é o contrário!

Sendo assim, a ideia é tirar as informações das derivadas dos gráficos dados e determinar o que esse ponto significa na função h !

Relaxa, vou fazer contigo!

Bora lá!

Passo 2

A derivada de h é

h ' 1 = f ' 1 .   g ' ( 1 )

Daí sabemos que g tem um mínimo local em x = 1 , então

g ' 1 = 0

Assim a derivada de h é zero

h ' 1 = 0

Então podemos descartar como resposta as letras (a) e (b)

Beleza?

Passo 3

Agora vamos observar as duas funções em torno do ponto x = 1 , para ver quais os sinais das derivadas de cada uma e assim, determinar o sinal da derivada de h em torno desse ponto. Com isso vamos poder dizer se é máximo, mínimo ou inflexão.

Nossa derivada

h ' 1 = f ' 1 .   g ' ( 1 )

Antes desse ponto (retas em azul ) temos

as duas derivadas são negativas, assim a derivada de h fica positiva

h ' 1 - = f ' 1 ⏝ - .   g ' 1 ⏝ - > 0

E depois desse ponto a f segue tendo derivada negativa e a g positiva, assim o produto delas fica negativo

h ' 1 + = f ' 1 ⏝ - .   g ' 1 ⏝ + < 0

Então temos que o valor da derivada de h em torno de x = 1 passa e valores positivos para negativos, sendo, portanto, um ponto de máximo local

Alternativa correta (e)

E é isso! Até a próxima!

Resposta

e

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