Esboço de Curvas
Considere a seguinte função
Encontre o domínio de , os pontos de interseção do gráfico de com os eixos e analise a simetria de .
Caso existam, determine as assíntotas horizontais e verticais de .
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de , seus pontos de máximo e mínimo e os seus valores.
Determine os intervalos onde tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Esboce o gráfico de usando as informações obtidas nos itens anteriores.
Passo 1
As restrições de domínio para essa função seriam apenas que o denominador da função não pode ser nulo:
Sendo assim, o domínio da função será:
Passo 2
Quanto às interseções, vamos fazer e ver que achamos e vice-versa:
A gente viu que intercepta o eixo , onde , em . Porém não havia nenhuma solução para , o que significa que a função não intercepta o eixo .
Quanto à simetria da função, vemos que é um quociente entre parábolas simétricas em relação ao eixo , ou seja, um quociente entre funções pares. Assim, também será uma função par!
Passo 3
As assíntotas verticais estão relacionadas com pontos de descontinuidades no domínio. Como vimos, apenas dois pontos não fazem parte do domínio da função, e :
Concluímos que existem duas assíntotas verticais, uma em e outra em .
Para observar a existência das assíntotas horizontais vamos fazer os limites de para e :
Achamos para os dois limites a mesma assíntota horizontal, .
Passo 4
Para observar crescimento e decrescimento da função e seus mínimos e máximos devemos analisar o sinal da derivada primeira de . Vamos derivar a função que o enunciado deu então pela Regra do Quociente:
Achamos, assim, a derivada de . Podemos ver que o termo do denominador será sempre positivo, já que está elevado ao quadrado. O sinal, portanto, só depende de , que será positivo para e negativo para . Assim, a função é crescente em e decrescente em , sendo um ponto crítico de máximo local, já que a derivada é positiva antes dele e negativa depois. Não há pontos de mínimo local.
Passo 5
Para observar a concavidade da função temos que olhar o sinal da derivada segunda. Vamos derivar pela Regra do Quociente:
Observando a composição desse termo, vemos que o numerador, o , é sempre positivo. O sinal só vai depender do . A gente pode fazer o estudo do sinal assim:
Como vemos, a concavidade será para cima onde ou . Será para baixo quando estiver no intervalo . Temos pontos de inflexão em e .
Passo 6
Vamos juntar todas as informações para esboçar o gráfico:
Vamos ao esboço:
