Considere

y = f x = x 3 e - x

  1. Verifique que
  2. f ' x = 3 x 2 - x 3 e - x e que f ’ ’ ( x )   = x 3 - 6 x 2 + 6 x e - x

  3. Ache as assíntotas horizontais e verticais caso existam.
  4. Identifique os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.
  5. Encontre os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam.
  6. Identifique os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão
  7. Usando as informações anteriores faça um esboço do gráfico de y = f x

Passo 1

a)

Vamos começar encontrando a derivada de f x

Usando as regras de derivação

f ' x = 3 x 2 ⋅ e - x + x 3 ⋅ - e - x

f ' x = e - x 3 x 2 - x 3

Que é igual ao valor dado no enunciado.

Passo 2

Vamos agora encontrar f ' ' x

f ' ' x = - e - x ⋅ 3 x 2 - x 3 + e - x ⋅ 6 x - 3 x 2

f ' ' x = e - x - 3 x 2 + x 3 + 6 x - 3 x 2

f ' ' x = e - x x 3 - 6 x 2 + 6 x

Que é igual ao valor dado no enunciado.

Passo 3

b)

As assíntotas horizontais são moleza, basta achar

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f x

Passo 4

Começando pelo limite no infinito positivo

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x 3 e - x = lim x → + ∞ ⁡ x 3 e x

Como

lim x → + ∞ ⁡ x 3 = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ e x = + ∞

Temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , e podemos aplicar a regra de L’Hôpital

lim x → + ∞ ⁡ x 3 e x = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 e x

Vai continuar dando indeterminação ∞ / ∞ , aplica regra de L’Hôpital de novo

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 e x = lim x → + ∞ ⁡ 6 x e x

Vai continuar dando indeterminação ∞ / ∞ , aplica regra de L’Hôpital de novo

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 e x = lim x → + ∞ ⁡ 6 e x = 6 lim x → + ∞ ⁡ e x = 0

Ou seja, a reta y = 0 é uma assíntota horizontal

Passo 5

Vamos para o limite no infinito negativo agora

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 e - x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 e x

lim x → - ∞ ⁡ x 3 = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ e x = 0

Então

lim x → - ∞ ⁡ x 3 e x = - ∞ 0 = - ∞

Ele vai para menos infinito porque o limite do exponencial vai para zero pela direita, ele sempre é maior que zero.

Não tem assíntotas verticais, pois não existe nenhum número real a ” tal que:

lim x → a ⁡ f x = ± ∞

Lembrai-vos: as verticais normalmente aparecem quando na função f você consegue algum x que dá uma divisão por zero.

Passo 6

c)

Para olharmos onde a função é crescente e decrescente, basta olharmos os sinais da primeira derivada.

f ' x = e - x 3 x 2 - x 3 = e - x x 2 3 - x

Vamos montar o quadro de sinais desse produto

Lembrando que devemos achar onde cada parcela do produto é zero, e depois olhar os sinais antes e depois desses pontos!!

Repare que x 2   e e - x são sempre positivos, eles na verdade não influenciam no sinal da derivada.

Os intervalos onde a função é crescente são aqueles onde a derivada é positiva:

f ' x > 0

E decrescente onde ela é negativa:

f ' x < 0

Temos

x > 3 ⇒ decrescente x < 3 ⇒ crescente

Passo 7

d)

Com o quadro de sinais montado lembra que quando a função vai de decrescente para crescente esse ponto é de mínimo local, e quando a função vai de crescente para decrescente ela é um ponto de máximo local.

x = 3 ⟹ máximo local

Como vimos no item b),

lim x → + ∞ ⁡ f x = 0

lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞

Como a função não tem assíntotas verticais, e não existe momento que ela se aproxima de infinito positivo esse ponto é na verdade máximo global,

P máx  global = 3 , f 3

P máx  global = 3 ,   27 e 3

Passo 8

e)

Para analisarmos a concavidade devemos olhar os sinais da segunda derivada

f ' ' x = e - x x x 2 - 6 x + 6

Vamos montar o quadro de sinais desse produto

Lembrando que devemos achar onde cada parcela do produto é zero, e depois olhar os sinais antes e depois desses pontos!!

Temos

x < 0 ⇒ Côncavo para baixo   3 - 3 > x > 0 ⇒ Côncavo para cima   3 + 3 > x > 3 - 3 ⇒ Côncavo para baixo   x > 3 + 3 ⇒ Côncavo para cima

O ponto de inflexão acontece quando a concavidade muda, temos três pontos de inflexão

x 1 = 0 x 2 = 3 - 3 x 3 = 3 + 3

Passo 9

-

f)

Vamos desenhar o gráfico,

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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