UTFPR– Cálculo Diferencial e Integral I – AVA2 – Questão 4af
Dada a função
Determine:
- As raízes reais da função
- Intervalos de crescimento e de decrescimento
- Pontos de máximo relativo (local), pontos de mínimo relativo (local), caso existam
- Intervalos das concavidades para cima e para baixo
- Pontos de inflexão, caso existam
- O esboço do gráfico
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!
O problema nos deu essa função aqui
E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:
- Raízes: pontos onde
- Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
- Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
- Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
- Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;
Anota aí!
E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar determinando as raízes, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!
Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Letra (a): Nossa função é
As raízes são os pontos nos quais , então
Nossa primeira raiz é , agora precisamos descobrir as outras!
Encontramos raízes imaginárias! Sendo assim, a única raiz real é
Beleza? Vamos encontrar agora os intervalos de crescimento e decrescimento!
Passo 3
Letra (b) e (c): agora queremos saber quando a função é crescente/decrescente. Então precisamos analisar o sinal da derivada!
Os pontos críticos (em torno deles que a função troca de sinal) são onde a derivada é zero:
Aqui temos duas soluções:
Tudo bem até aqui?
Achamos dois pontos críticos candidatos a máximo ou mínimo: e . Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades
- De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
- Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local
A ideia é testar na derivada um valor antes e um valor depois de cada ponto para saber o sinal que assume
Analisando em e em (antes de , entre e e depois de respectivamente):
Assim podemos classificar os pontos críticos
Beleza?
Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada primeira: intervalo de crescimento e decrescimento!
Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso
E decrescente onde ela é negativa:
Tudo bem até aqui?
Bora para a análise da derivada segunda!
Passo 4
Letra (d) e (e): Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!
A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função
- Derivada segunda positiva: função côncava para cima
- Derivada segunda negativa: função côncava para baixo
Beleza?
Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:
E derivar novamente
Igualando a zero temos:
Assim temos um ponto de inflexão:
Agora vamos analisar o sinal da derivada segunda em torno desse ponto.
Em resumo temos
Beleza? Estamos quase lá!
Passo 5
Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!
- Raiz real:
- Raiz real:
Como temos uma função polinomial, ela não apresenta assíntotas verticais (indeterminação). E no infinito?
E nosso gráfico ficou assim:
Ufa terminamos! Agora sim!
E é isso! Espero ter ajudado!
Resposta
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)