Dada a função

f x = 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x

Determine:

  1. As raízes reais da função
  2. Intervalos de crescimento e de decrescimento
  3. Pontos de máximo relativo (local), pontos de mínimo relativo (local), caso existam
  4. Intervalos das concavidades para cima e para baixo
  5. Pontos de inflexão, caso existam
  6. O esboço do gráfico

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x

E pediu para determinarmos várias coisas! Aqui vou fazer um resumo de cada uma dessas coisas e como encontramos cada uma delas:

  • Raízes: pontos onde f x = 0
  • Intervalos de crescimentos e decrescimento: crescimento – intervalo onde a derivada é positiva, decrescimento – intervalo onde a derivada é negativa
  • Máximos e mínimos locais: pontos onde a derivada apresenta troca de comportamento (de positivo/negativo para negativo/positivo)
  • Pontos de inflexão: onde a segunda derivada é zero
  • Concavidade da função: côncava para cima – derivada segunda positiva; côncava para baixo – derivada segunda negativa;

Anota aí!

E é tudo isso que vamos fazer! Vamos começar determinando as raízes, depois analisando a derivada primeira, a derivada segunda e por fim construir esse gráfico bem bonitão!

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Letra (a): Nossa função é

f x = 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x

As raízes são os pontos nos quais f x = 0 , então

2 x 3 + 9 x 2 + 12 x = 0

x 2 x 2 + 9 x + 12 = 0

Nossa primeira raiz é x = 0 , agora precisamos descobrir as outras!

2 x 2 + 9 x + 12 = 0

x = - 9 ± 9 2 - 4 . 2.12 2 . 1 = - 9 ± 81 - 96 2

x = - 9 ± - 16     2 = - 9 2 ± 2 i

Encontramos raízes imaginárias! Sendo assim, a única raiz real é

x = 0

Beleza? Vamos encontrar agora os intervalos de crescimento e decrescimento!

Passo 3

Letra (b) e (c): agora queremos saber quando a função é crescente/decrescente. Então precisamos analisar o sinal da derivada!

f x = 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x

f ' x = 6 x 2 + 18 x + 12

Os pontos críticos (em torno deles que a função troca de sinal) são onde a derivada é zero:

f ' x = 0

6 x 2 + 18 x + 12 = 0

x 2 + 3 x + 2 = 0

x = - ( 3 ) ± ( 3 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) = - 3 ± 1 2

Aqui temos duas soluções:

x = - 1   ; x = - 2

Tudo bem até aqui?

Achamos dois pontos críticos candidatos a máximo ou mínimo: x = - 1 e x = - 2 . Agora para classificar se é ponto de máximo ou mínimo, precisamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos. Se houver troca de sinal, podemos ter duas possibilidades

  1. De negativo para positivo: então esse ponto é de mínimo local
  2. Se positivo para negativo: esse é um ponto de máximo local

A ideia é testar na derivada um valor antes e um valor depois de cada ponto para saber o sinal que f ' assume

Analisando x = - 3 , em x = - 1,5 e em x = 0 (antes de - 2 , entre - 2 e - 1 e depois de - 1 respectivamente):

f ' - 3 > 0

f ' - 1,5 < 0

f ' 0 > 0

Assim podemos classificar os pontos críticos

x = - 2 :   m á x i m o l o c a l

x = - 1 : m í n i m o   l o c a l

Beleza?

Agora vamos ver o último quesito que envolve a derivada primeira: intervalo de crescimento e decrescimento!

Temos que a função é crescente quando a derivada é positiva, então nesse caso

c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 2 ) U ( - 1 , + ∞ )

E decrescente onde ela é negativa:

d e c r e s c e n t e : ( - 2 , - 1 )

Tudo bem até aqui?

Bora para a análise da derivada segunda!

Passo 4

Letra (d) e (e): Agora vamos analisar os aspectos que envolvem a derivada segunda! Com a derivada segunda podemos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade da função muda!

A ideia é análoga ao da derivada primeira: pegar a derivada segunda, igualar a zero e encontrar os pontos que satisfazem isso. Por fim, analisar o sinal da f ' ' ( x ) em torno desses pontos e encontrar a concavidade da função

  1. Derivada segunda positiva: função côncava para cima
  2. Derivada segunda negativa: função côncava para baixo

Beleza?

Vamos resgatar a derivada primeira do passo anterior:

f ' x = 6 x 2 + 18 x + 12

E derivar novamente

f ' ' x = 12 x + 18

Igualando a zero temos:

12 x + 18 = 0 → x = - 3 2

Assim temos um ponto de inflexão: x = - 3 2

Agora vamos analisar o sinal da derivada segunda em torno desse ponto.

x = - 2 (antes de x = - 3 2 ) e em x = 0 (depois), vemos que a derivada segunda assume valores negativos, depois positivos.

Em resumo temos

c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - 3 2 ,   + ∞

c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ , - 3 2

Beleza? Estamos quase lá!

Passo 5

Nosso passo final é reunir todas as informações e esboçar o gráfico da função!

  • f x = 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x
  • Raiz real: x = 0
  • f 0 = 0
  • x = - 2 : m á x i m o   l o c a l
  • x = - 1 :   m í n i m o l o c a l
  • c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 2 ) U ( - 1 , + ∞ )
  • d e c r e s c e n t e : ( - 2 , - 1 )
  • x = - 3 2 p o n t o   d e   i n f l e x ã o
  • c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - 3 2 ,   + ∞
  • c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ , - 3 2
  • Como temos uma função polinomial, ela não apresenta assíntotas verticais (indeterminação). E no infinito?

    lim x → + ∞ ⁡ 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x = + ∞

    lim x → - ∞ ⁡ 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x = - ∞

    E nosso gráfico ficou assim:

    Ufa terminamos! Agora sim!

    E é isso! Espero ter ajudado!

    Resposta

  • f x = 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x
  • Raiz real: x = 0
  • f 0 = 0
  • x = - 2 : m á x i m o   l o c a l
  • x = - 1 :   m í n i m o l o c a l
  • c r e s c e n t e : ( - ∞ , - 2 ) U ( - 1 , + ∞ )
  • d e c r e s c e n t e : ( - 2 , - 1 )
  • x = - 3 2 p o n t o   d e   i n f l e x ã o
  • c ô n c a v a   p a r a   c i m a : - 3 2 ,   + ∞
  • c ô n c a v a   p a r a   b a i x o : - ∞ , - 3 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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