Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f(x) = x / (x^2 - x + 1)

Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda.

Depois vamos analisar o sinal da segunda derivada. Pra gente ver o sinal, temos que igualar a 0, beleza?

Passo 2

Vamos então derivar, e, para nosso caso atual, vamos precisar usar a regra do quociente, certo?

f ' x = x 2 - x + 1 - x 2 x - 1 x 2 - x + 1 2 = x 2 - x + 1 - 2 x 2 + x x 2 - x + 1 2

f ' x = - x 2 + 1 x 2 - x + 1 2 = - x 2 + 1 x 2 - x + 1 2

Fazendo a deriva segunda:

f ' ' x = - 2 - x 3 + 3 x - 1 x 2 - x + 1 3

f ' ' x = - 2 - x 3 + 3 x - 1 x 2 - x + 1 3 = 0

- x 3 + 3 x - 1 = 0

Resolvendo a equação cúbica através de algum software matemático, obtém-se as raízes, as quais são os pontos de inflexão. Elas são aproximadamente - 2 ,     0.35   e   1.5

Portanto, vamos precisar analisar os intervalos:

x < - 2

- 2 < x < 0,35

0,35 < x < 1,5

x > 1,5

Passo 3

Vamos testar no primeiro intervalo com x = - 3

f ' ' - 3 = 17 > 0

Para o segundo intervalo vamos testar x = 0

f ' ' 0 = - 2 < 0

No terceiro intervalo vamos testar x = 1

f ' ' 1 = 1 > 0

No quarto intervalo, vamos usar x = 2

f ' ' 2 = - 3 < 0

Temos então que a concavidade é pra cima quando f ' ' > 0 e pra baixo quando f ' ' < 0

Temos então que a concavidade é pra cima de [ - ∞ , - 2 ] , pra baixo de [ - 2,0.35 ] , para cima [ 0.35 ,   1.5 ] e para baixo de 1.5 ,   + ∞

Resposta

x = - 2 ,   0.35   e   1.5 são pontos de inflexão e que a concavidade é pra cima de [ - ∞ , - 2 ] , pra baixo de [ - 2,0.35 ] , para cima [ 0.35 ,   1.5 ] e para baixo de 1.5 ,   + ∞ .

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