Determinar as concavidades e os pontos críticos de inflexão das funções abaixo.

f(x) = x + 1 / x

Passo 1

Como estamos tratando de concavidade e ponto de inflexão, devemos calcular a derivada segunda.

Depois vamos analisar o sinal da segunda derivada. Pra gente ver o sinal, temos que igualar a 0, beleza?

Passo 2

Vamos então derivar

f ' x = 1 - 1 x 2

f ' ' x = 2 x 3 = 0

x = 0

Portanto, nosso ponto de inflexão é x = 0

Para saber quando a concavidade é pra cima a gente tem que achar quando a segunda derivada será maior que zero. Por sua vez, quando a concavidade for pra baixo, a derivada segunda tem que ser menor que zero. Agora que a gente sabe o ponto de inflexão, vamos testar alguns valores para vermos o sinal da derivada, beleza?

x > 0

x < 0

Passo 3

Vamos testar no primeiro intervalo com x = 1

f ' ' 1 = 2 > 0

Para o segundo intervalo vamos testar -1

f ' ' - 1 = - 2 < 0

Temos então que a concavidade é pra cima quando f ' ' > 0 e pra baixo quando f ' ' < 0

Temos então que a concavidade é pra baixo de [ - ∞ , 0 ] , pra baixo de [ 0 , ∞ ]  

Resposta

x = 0   e 1 3 é o ponto de inflexão e que a concavidade é pra baixo de [ - ∞ , 0 ] , pra baixo de [ 0 , ∞ ]

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