Encontre, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f x = x . cosh ⁡ x e esboce o seu gráfico.

Passo 1

Reescrever a função

Trabalhar na forma de função hiperbólica nem sempre é o mais fácil. Nesse caso, como queremos ver assíntotas, vamos lembrar que:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

E reescrever a função do enunciado como:

f x = x . e x + e - x 2

f x = x e x 2 + x 2 e x

Essa expressão aí vai ser mais fácil de trabalhar. Então bora começar achando as assíntotas do gráfico!

Passo 2

Achar as assíntotas verticais

Pra achar as assíntotas verticais, o que a gente precisa fazer é olhar no fundo dos olhos da função e perguntar: eai, você tem algum x que gere uma indefinição? Em uma função que é soma de quocientes, a única indefinição possível é:

d e n o m i n a d o r = 0

E veja que, no nosso caso:

2 ≠ 0 ,     ∀ x   ∈ I R

2 e x   ≠ 0   ,     ∀ x   ∈ I R  

Se eu posso dar qualquer x pra função e receber um f x como resposta, então não tem nenhuma assíntota vertical!

Passo 3

Achar as assíntotas horizontais

Agora que a gente começa a por a mão na massa e fazer conta. Pra achar assíntotas verticais a gente tem que olhar de novo no fundo dos olhos da função, mas dessa vez perguntar: existe algum f x que você nunca alcance valor igual ou maior? Ou que tal igual ou menor?

Em matematiquês, essa pergunta é o mesmo que calcular:

lim x → + ∞ ⁡ f x = A ,     A   ∈ I R

lim x → - ∞ ⁡ f x = B ,     B   ∈ I R

Então vamo que vamo:

lim x → + ∞ ⁡ f x =   lim x → + ∞ ⁡ x e x 2 + x 2 e x = lim x → + ∞ ⁡ x e x 2 + lim x → + ∞ ⁡ x 2 e x

Dividimos então o limite em dois e o segundo, acabamos ficando com uma indeterminação ∞ ∞ que tem a cara de L’Hospital. Derivando em cima e em baixo então, ficamos com:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x e x 2 + lim x → + ∞ ⁡ 1 2 e x

Beleza, agora é só aplicar os limites. Vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ f x = ∞ + 0 = ∞

Eta, infinito não é um número! Então já podemos logo afirmar que não existe assíntotal horizontal do lado direito do eixo y , isto é, para x > 0 . Agora, para x → - ∞ , vamos ter que:

lim x → - ∞ ⁡ f x =   lim x → - ∞ ⁡ x e x 2 + lim x → - ∞ ⁡ x 2 e x

Só um detalhe quando trabalhamos com qualquer coisa elevada a x : já que estamos tendendo a - ∞ , valores cada vez maiores em módulo porém negativos farão com que possamos considerar

lim x → - ∞ ⁡ a x = lim x → + ∞ ⁡ a - x = 0

lim x → - ∞ ⁡ a - x = lim x → + ∞ ⁡ a x = ∞

Então do primeiro limite, podemos fazer:

lim x → - ∞ ⁡ x e x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 e - x

E aplicando L’Hospital:

lim x → - ∞ ⁡ x e x 2 = lim x → - ∞ ⁡ - 1 2 e - x =   - 1 2 lim x → - ∞ ⁡ 1 e - x

lim x → - ∞ ⁡ x e x 2 =   - 1 2 lim x → - ∞ ⁡ e x =   - 1 2 lim x → + ∞ ⁡ 1 e x

lim x → - ∞ ⁡ x e x 2 =   0

Pro segundo limite vamos ter::

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e x =     lim x → - ∞ ⁡ x lim x → - ∞ ⁡ 1 2 e x

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e x = 1 2   - ∞ lim x → - ∞ ⁡ e - x

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e x = 1 2   - ∞ lim x → + ∞ ⁡ e x

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e x = 1 2   - ∞ ∞ = - ∞

E de novo, se infinito não é um número, menos infinito também não é! Então podemos afirmar também que não existe assíntotal horizontal do lado esquerdo do eixo y . Ou seja, a malandra da função não tem assíntota nenhuma.

Passo 4

Esboçar o gráfico

Olha só que maneiro que a gente achou:

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞

O que esse resultado nos diz é que a função é crescente o tempo todo! Show de bola, mas será que passa na horigem? Vamos ver:

f 0 = 0 . e 0 2 + 0 2 e 0 = 0

Opa, passa na origem sim! Então já sabemos que vai ser algo no estilo de f x = x

Mas claro, essa função vai ter umas curvinhas! Cortesia do produto x cosh ⁡ x . Como a gente só quer um esboço, vamos tentar ir substituindo uns pontos ao entorno de x = 0 :

Ligando os pontos:

Resposta

A função não possui assíntotas.

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