Esboce o gráfico de

y = (x^2 - x + 1) / (x^2 - x - 2)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para esboçar o gráfico da seguinte função:

y = x 2 - x + 1 x 2 - x - 2

Mas como podemos esboçar essa função???

Uma forma seria escolher valores aleatórios de x e analisar os valores de y correspondentes e, por fim, traçarmos um gráfico... mas isso seria muito trabalhoso, né?

Então... outra opção seria a gente selecionar os pontos de interseção com os eixos, identificar as assíntotas verticais e horizontais, e determinar o comportamento da curva em torno desses pontos e assíntotas.

Então bora lá!!

😉

Passo 2

Dessa forma, vamos começar encontrando os pontos de interseção com os eixos x e y :

  • Interseção com o eixo y (fazendo x = 0 ):
  • y = 0 2 - 0 + 1 0 2 - 0 - 2 ∴

    y = - 1 2

  • Interseção com o eixo x (fazendo y = 0 ):

0 = x 2 - x + 1 x 2 - x - 2 ∴

x 2 - x + 1 = 0 ∴

x = - - 1 ± - 1 2 - 4 * 1 * 1 2 * 1 ∴

x = 1 ± - 3 2

Como o discriminante - 3 é negativo, as raízes são números complexos não reais e não afetam o gráfico no plano x y .

Portanto, a função não possui interseções com o eixo x real.

Agora, vamos calcular as assíntotas verticais e horizontais.

Passo 3

As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador se anula, ou seja:

x 2 - x - 2 = 0 ∴

x = - - 1 ± - 1 2 - 4 * 1 * - 2 2 * 1 ∴

x = 1 ± 3 2

Assim, temos duas possíveis assíntotas verticais em:

x = 1 + 3 2 = 2

E

x = 1 - 3 2 = - 1

Passo 4

Por outro lado, quando x tende ao infinito, o comportamento do gráfico se aproxima de uma assíntota horizontal.

Dessa forma, as assíntotas horizontais ocorrem quando o grau do numerador é menor ou igual ao grau do denominador.

Logo, para encontrar a assíntota horizontal, basta comparar os graus do numerador e denominador:

y = x 2 - x + 1 x 2 - x - 2 ∴

y ≈ x 2 x 2 ∴

y = 1

Assim, temos uma assíntota horizontal em y = 1 .

Passo 5

Com essas informações, podemos plotar o gráfico:

O gráfico terá uma assíntota horizontal em y = 1 , e duas assíntotas verticais em x = 2 e x = - 1 .

O ponto de interseção com o eixo y é em y = - 1 2 , mas não há interseção real com o eixo x .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

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