Esboce o gráfico de

f x = e - x ²

Passo 1

Para começar, vamos determinar o domínio da função. Ela pode ser reescrita da seguinte maneira

f x = 1 e x ²

A única restrição seria quando e x 2 = 0 , mas como isso nunca ocorre não há restrições para o domínio, ou seja, ele é todo o conjunto dos reais.

D o m = R

Passo 2

Agora, vamos ver se a função tem alguma paridade, ou seja, se ela é uma função par ou uma função ímpar.

- f x = f ( - x ) ?

Sim. Exemplo: e - 1 ² = e - ( - 1 ) ² . Isso ocorre para todos os pontos do domínio. Ser par significa que a função é simétrica em relação ao eixo y . Tudo que ocorre quando x < 0 ocorre quando x > 0 .

- f - x = - f ( x ) ?

Não.

Passo 3

Hora de determinar se a função tem assíntotas. Vamos começar pelas verticais. Já que nossa função não tem pontos de descontinuidade, pois o domínio é todo o conjunto dos reais, ela necessariamente não possui assíntotas verticais.

Agora vamos ver as assíntotas horizontais.

lim x → ∞ ⁡ e - x ² = e - ∞ = 1 e ∞ = 0

lim x → - ∞ ⁡ e 1 x = e - ∞ = 1 e ∞ = 0

Então y = 0 é assíntota horizontal.

Passo 4

Temos que fazer o estudo do crescimento da função. Vamos derivar e ver onde a derivada é positiva e negativa.

f ' x = e - x 2 ( - 2 x )

Como e - x 2 > 0 o sinal da derivada só será afetado por - 2 x

2 x = 0

x = 0

  • Quando x < 0 : f ' x > 0
  • Quando x > 0 : f ' x < 0

A função é crescente quando x < 0 e decrecente quando x > 0 .

Passo 5

Agora vamos determinar os máximos e mínimos da função, se existirem. Primeiro temos que achar os pontos críticos.

f ' x = 0

e - x 2 ( - 2 x ) = 0

- 2 x = 0

x = 0

Achamos x = 0 como ponto crítico. Como vimos no passo anterior, a derivada passe de positiva pra negativa nesse ponto, logo ele é um máximo da função. Nesse caso é um máximo global, pois não há outros pontos de máximo, visto que não temos fronteira no domínio que poderiam configurar máximos globais. O valor máximo da função é

f 0 = e - 0 ² = e 0 = 1

Passo 6

Estamos quase terminando. Falta estudar a concavidade da função. Para isso, temos que fazer a segunda derivada.

f ' ' x = e - x 2 - 2 x - 2 x - 2 e - x 2 = 4 x 2 e - x 2 - 2 e - x ²

Agora estudamos o sinal.

4 x 2 e - x 2 - 2 e - x ² = 0

4 x 2 e - x 2 = 2 e - x ²

4 x 2 = 2

x 2 = 1 2

x = ± 1 2

Então f ' ' x > 0   quando x < - 1 2 e x > 1 2 , logo ela é côncava para cima nesses intervalos. Quando - 1 2 < x < 1 2 , f ' ' x < 0 , logo a concavidade é para baixo.

Os pontos x = ± 1 2 são pontos de inflexão.

Passo 7

Pronto! Agora podemos juntar tudo que descobrimos e fazer o esboço do gráfico, que fica assim:

Resposta

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