Esboce o gráfico de
Passo 1
Para começar, vamos determinar o domínio da função. As restrições são para , pois o logaritmo não existe, e no ponto , em que a função não está definida, pois o denominador se torna nulo. Então o domínio é
.
Passo 2
Agora, vamos ver se a função tem alguma paridade, ou seja, se ela é uma função par ou uma função ímpar.
?
Não.
?
Não.
Passo 3
Agora temos que determinar se a função tem assíntotas. Vamos começar pelas verticais. Essas ocorrem perto de pontos de descontinuidade da função. Nesse caso temos os pontos e . Vamos fazer os limites tendendo a esses pontos, então.
Então é uma assíntota vertical.
Agora vamos ver as assíntotas horizontais. Nesse caso, não temos que fazer com pois a função não está definida para .
Então não há assíntota horizontal.
Passo 4
Agora vamos ver crescimento da função. Temos que derivar e ver onde a derivada é positiva e negativa.
Como o sinal da derivada só será afetado por . A figura abaixo demonstra o sinal da derivada.
Pelo estudo do sinal, concluímos que a função é decrescente para
e crescente para
Passo 5
Agora vamos determinar os máximos e mínimos da função, se existirem. Primeiro temos que achar os pontos críticos.
Como a derivada muda de negativa para positiva em , significa que esse é um mínimo local da função. Podemos descobrir se ele é um mínimo absoluto? Sim! Basta comparar o valor da função nesse ponto com os valores que da função nas fronteiras do domínio. Como
significa que não é mínimo absoluto.
Passo 6
Estamos quase terminando. Falta estudar a concavidade da função. Para isso, temos que fazer a segunda derivada, lembra?
O sinal de está de acordo com o quadrinho abaixo:
- Quando e : a função tem concavidade para baixo
- Quando : a função tem concavidade para cima
Os pontos e são pontos de inflexão.
Passo 7
Pronto! Agora podemos juntar todos os dados que descobrimos e fazer o esboço do gráfico, que fica assim:
Resposta
