Esboce o gráfico da função

y = x / (x^2 - 1)^(1/3) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que esboçar o gráfico da função

y = x ( x 2 - 1 ) 1 3

Para isso, vamos identificar se a função possui algum ponto de descontinuidade e também verificar quais são os pontos de máximos,mínimos e pontos de sela nos intervalos que ela é contínua. Isso vamos olhar para a derivada da função.

Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos verificar se a função é descontínua em algum ponto, ou seja, se temos singularidades. Olhando para a função, temos que ela é descontínua x = ± 1 , pois temos um zero no denominador

y ( ± 1 ) = ± 1 0

Então, vamos olhar para o intervalo - 1 < x < 1 , no qual a função é contínua.

Passo 3

Temos que quando a derivada é positiva, a função é crescente, e quando a derivada é negativa a função é decrescente. Vamos tomar a derivada da função utilizando a regra do quociente:

y ' = d d x ( x ( x 2 - 1 ) 1 3 ) = ( x 2 - 1 ) 1 3 - 1 3 x ( x 2 - 1 ) - 2 3 2 x ( x 2 - 1 ) 2 3

y ' = ( x 2 - 1 ) 1 3 -   2 3 x 2 ( x 2 - 1 ) - 2 3 ( x 2 - 1 ) 2 3 .

Para analisar o sinal dessa derivada, vamos notar que o denominador será sempre positivo e também que no intervalo que estamos analisando ( x 2 - 1 ) 1 3 < 0 e x 2 ( x 2 - 1 ) - 2 3 = ( x ( x 2 - 1 ) 1 3 ) 2 > 0 . Assim, temos que nesse intervalo a derivada será sempre negativa, sendo então a função decrescente.

Passo 4

Por último, temos que a função é nula para x = 0 . Assim, como ela é decrescente em todo intervalo de - 1 < x < 1 , temos que seu esboço será

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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