Esboce o gráfico da função e dê explicitamente o que se pede:
- Domínio de
- Paridade de
- Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
- Intervalos de em que é contínua
- Pontos de em que a tangente ao gráfico é vertical
- Intervalos de onde é crescente e onde é decrescente
- Extremos relativos de e os respectivos pontos de onde ocorrem
- Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
- Extremos absolutos de e os respectivos pontos de onde ocorrem;
- Imagem de
Passo 1
A função pode ser escrita da seguinte maneira
Como se trata de um polinômio e a raiz cubica não tem restrições, o domínio é
Passo 2
A função não é par, pois . A função também não é ímpar, porque
Passo 3
As assíntotas verticais ocorrem quando a função se aproxima dos pontos onde o domínio não está definido. Já que está definida em todo o conjunto dos reais, não há pontos candidatos a serem assíntotas verticais.
Já as assíntotas horizontais, ocorrem com a tendência do limite de no infinito. Usando os limites para , achamos o seguinte:
Como que os dois limites foram para infinito, a função não tem assíntotas horizontais.
Passo 4
A continuidade da função depende do domínio dela. Onde não existirem descontinuidades no domínio ela será contínua. Assim, é contínua em .
Passo 5
Os pontos onde a tangente ao gráfico é vertical são aqueles pontos onde a derivada não está definida. Como
então o único ponto em que a derivada não está definida é em . Logo, é a reta tangente vertical ao gráfico.
Passo 6
Para definir se a função é crescente ou decrescente, temos que analisar o sinal da derivada: onde ela é positiva, cresce; onde é negativa, decresce. Já temos a derivada:
Agora temos que analisar o sinal da derivada. O quadrinho abaixo mostra quando a derivada é positiva e negativa.
Portanto,
- é crescente no intervalo
- é decrescente no intervalo
Passo 7
Os extremos relativos são os máximos e mínimos locais. Para achá-los, primeiro temos que determinar os pontos críticos, fazendo .
Nesse caso, temos que apenas satisfaz isso. Como a derivada muda de negativa para positiva nesse ponto, ele é um mínimo local.
Passo 8
Definimos a concavidade de acordo com o sinal da segunda derivada: se for positiva, concavidade para cima; se negativa, para baixo. Vamos calcular a derivada segunda então!
Agora, analisando o sinal, temos que
Assim, a concavidade é para baixo no intervalo e para cima no intervalo .
Então é ponto de inflexão, pois ele é o único ponto que zera a segunda derivada. Veja que não é ponto de inflexão, mas ele está no quadrinho acima por ser um ponto “problemático”, ou seja, onde a segunda derivada não se define. Então é bom colocar ele nessa análise de sinal, viu?
Passo 9
Para pensar em extremos absolutos temos que analisar se os limites da função para são maiores, menores ou iguais aos extremos relativos.
Sabemos que . Como a função assume valores maiores que , que é extremo relativo, então ela não possui extremos absolutos.
Passo 10
A imagem de consiste em todos os valores que ela pode assumir.
Como ,
Passo 11
Agora juntamos todas as informações para esboçar o nosso gráfico.
