Esboce o gráfico de:

f x = π x 3

Passo 1

Essa é uma função que pode assustar à primeira vista, mas vamos dissecá-la com cuidado.

Primeiramente, podemos ver que ela não tem nenhum tipo de restrição, seja quociente, raiz quadrada ou logaritmo, então o seu domínio é todo o R .

Passo 2

A imagem dessa função dá pra achar tranquilamente também!

π é uma constante positiva, então elevando ela a qualquer valor (seja positivo ou negativo) vamos obter um número positivo. Ou seja:

f x > 0

⇒ I m = 0 ,   ∞

Passo 3

Agora vamos caçar assíntotas!

Como o domínio de f é todo o R , ela não tem assíntota vertical. Mas podemos procurar assíntotas horizontais, calculando os limites no infinito:

lim x → ∞ ⁡ f x = ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = 0

Opa, então y = 0 é uma assíntota horizontal da função!

Passo 4

Agora vamos ver como é o crescimento da f , analisando o sinal da sua primeira derivada.

Pela regra da cadeia:

f ' x = π x 3 . 3 x 2 . ln ⁡ π

Repare que:

π x 3 > 0 3 x 2 ≥ 0 ln ⁡ π > 0

Ou seja, temos:

f ' x = 0 ⇔ 3 x 2 = 0 ⇔ x = 0

f ' x > 0 ,     x ≠ 0

Ou seja, a função é sempre crescente, ela só dá uma pausinha ali no x = 0 mas não chega a decrescer em momento algum.

Passo 5

Só nos resta descobrir a concavidade da função. Derivando de novo:

f ' ' x = ln ⁡ π 6 x . π x 3 + 3 x 2 . π x 3 '

Temos

π x 3 ' = f ' x = π x 3 . 3 x 2 . ln ⁡ π

Logo,

f ' ' x = ln ⁡ π 6 x . π x 3 + 3 x 2 . π x 3 . 3 x 2 . ln ⁡ π

f ' ' x = 3 ln ⁡ π π x 3 2 x + 3 x 4 ln ⁡ π

Passo 6

Vejamos o sinal disso aí…. Temos que:

3 ln ⁡ π π x 3 > 0 ,     ∀ x ∈ R

Agora vamos ver quando o outro termo se anula:

2 x + 3 x 4 ln ⁡ π = x 2 + 3 x 3 ln ⁡ π = 0

Então ou x = 0 , ou:

2 + 3 x 3 ln ⁡ π = 0

x 3 = - 2 3 ln ⁡ π

⇒ x = - 2 3 ln ⁡ π 3

A função tem 2 pontos de inflexão: x = 0   e x = - 2 3 ln ⁡ π 3 .

Passo 7

Temos que

x < - 2 3 ln ⁡ π 3 ⇔ 2 x + 3 x 4 ln ⁡ π > 0

⇒ f ' ' x > 0

Da mesma forma:

x > 0 ⇔ 2 x + 3 x 4 ln ⁡ π > 0

⇒ f ' ' x > 0

E entre os 2 pontos de inflexão, a derivada segunda é negativa.

Resumindo:

f ' ' x > 0 , x < - 2 3 ln ⁡ π 3 f ' ' x < 0 , - 2 3 ln ⁡ π 3 < x < 0 f ' ' x > 0 , x > 0

Ou seja, f tem concavidade para cima em - ∞ ,   - 2 3 ln ⁡ π 3 ∪ 0 ,   ∞ e concavidade para baixo em - 2 3 ln ⁡ π 3 ,   0 .

Passo 8

Com isso tudo já dá pra esboçar o gráfico!!

Hm na verdade falta só mais uma coisinha....que você talvez já tenha se perguntado: quanto diabos vale - 2 3 ln ⁡ π 3 ?? Temos que usar o valor dele no gráfico né!

Vamos dar uma estimada nesse rapaz sem calculadora. Isso é um treino pra vida!

Primeiramente: quanto vale mais ou menos ln ⁡ π ?

Olha, sabemos que π ≈ 3,14 e ln ⁡ e = 1 , sendo que e ≈ 2,71 .

A função logaritmo natural cresce devagariiinho, então podemos chutar:

ln ⁡ π ≈ 1,2 ⇒ 3 ln ⁡ π ≈ 3,6

⇒ 2 3 ln ⁡ π ≈ 2 3,6 = 2 36 10 = 20 36 = 5 9

Passo 9

E agora temos que tirar a raiz cúbica disso:

2 3 ln ⁡ π 3 ≈ 5 9 3 = 5 3 9 3

Vejamos, o quê ao cubo dá 5? 1 ao cubo dá 1, e 2 ao cubo dá 8, então

1 < 5 3 < 2

Vamos testar 1,5 :

1,5 3 = 1,5 2 . 1,5 = 2,25.1,5 = 3,375

Ainda está muito baixo. Um valor interessante de testar é 3 ≈ 1,7 :

3 3 = 3 3 ≈ 3.1,7 = 5,1

Ok, então digamos que 5 3 = 1,7 .

E digamos que 9 3 = 2,1 , já que 2 3 = 8 , só pegamos um número um pouco maior que 2 .

Passo 10

Disso tudo tiramos que:

- 2 3 ln ⁡ π 3 ≈ - 1,7 2,1 ≈ - 4 5 = - 0,8

Podemos usar esse valor pro esboço!

Obs.: um valor mais preciso, achado com a calculadora, é - 0,835 . Viu que só com estimações relativamente simples dá pra chegar perto do resultado? ;)

Passo 11

Resumindo o gráfico:

  • Ele vem lá de - ∞ , onde está bem próximo zero, e com concavidade para cima, crescendo devagar.
  • Mais ou menos em - 0,8 ele passa a ter concavidade para baixo.
  • Ele chega na horizontal em x = 0 , onde vale f 0 = π 0 = 1 , e aí muda de novo da concavidade.
  • Depois disso ele cresce abruptamente pro infinito.

Lá vai:

Resposta

(gráfico acima)

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