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Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

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Enunciado

USP– Cálculo 1 – Lista 2 – Questão 1.8dParte2

Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

d )   f x = x 3 x 2 - 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

  f x = x 3 x 2 - 1

Agora nessa parte dois vamos determinar as assíntotas!

  • Assíntotas horizontais são quando fazemos o limite da função para ± ∞ e achamos um valor finito a . A equação vai ser do tipo y = a
  • Assíntotas verticais são quando calculamos o limite da função para um ponto de indeterminação b e temos como resultado o infinito. A equação será do tipo x = b

E juntando isso com todos os itens encontrados na parte 1, vamos poder esboçar o gráfico bem bonitinho!

Recordando o que achamos na parte 1:

  • Crescente: - ∞ , - 3   e   3 , + ∞
  • Decrescente: - 3 ,   + 3  
  • Côncava para cima: - 1,0   e   ( 1 , + ∞ )
  • Côncava para baixo: - ∞ , - 1   e   ( 0,1 )  
  • Mínimo local: x = 3 ,   Máximo local: x = - 3 ; inflexão: x = 0

    • Beleza?

    Bora lá!

    Passo 2

    Nossa função é

      f x = x 3 x 2 - 1

    Calculando o limite quando x → + ∞

    lim x → + ∞ ⁡ x 3 x 2 - 1 = + ∞

    No infinito podemos dispensar aquele - 1 do denominador e simplificar

    lim x → + ∞ ⁡ x 3 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x = + ∞

    E para x → - ∞

    lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x = - ∞

    Ou seja, não temos assíntotas horizontais!

    Beleza?

    Passo 3

    Agora vamos analisar os possíveis pontos de descontinuidade da função

    f x = x 3 x 2 - 1

    Temos descontinuidade em x = - 1 e x = 1 , então precisamos analisar os limites bilaterais desses dois pontos!

    Começando por x = 1

    lim x → 1 - ⁡ x 3 x 2 - 1 = 1 0 - = - ∞

    lim x → 1 + ⁡ x 3 x 2 - 1 = 1 0 + = + ∞

    Temos assíntota vertical por ambos os lados de x = 1 ! Agora vamos ver em x = - 1

    lim x → - 1 - ⁡ x 3 x 2 - 1 = - 1 0 + = - ∞

    lim x → - 1 + ⁡ x 3 x 2 - 1 = - 1 0 - = + ∞

    Também temos assíntota vertical em x = - 1 !

    Tranquilo?

    Passo 4

    Bora construir o gráfico?

    f x = x 3 x 2 - 1

    Ela tem de características:

  • Crescente: - ∞ , - 3   e   3 , + ∞
  • Decrescente: - 3 ,   + 3  
  • Côncava para cima: - 1,0   e   ( 1 , + ∞ )
  • Côncava para baixo: - ∞ , - 1   e   ( 0,1 )  
  • Mínimo local: x = 3 ,   Máximo local: x = - 3 ; inflexão: x = 0
  • Não possui assíntotas horizontais
  • Assíntotas verticais: x = 1 e x = - 1
  • f 0 = 0

E é isso! Até mais!

Resposta

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