Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

e) f(x) = x^3 / (x - 1)^2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x 3 x - 1 2

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as assíntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = x 3 x - 1 2

f ' x = x 2 ( x - 3 ) x - 1 3

E onde ela é zero

f ' x = 0

x 2 ( x - 3 ) x - 1 3 = 0 → x 2 ( x - 3 ) = 0

x = 0   e   x = 3  

E precisamos analisar em torno de   1 pois nesse ponto a função não está definida

Beleza?

Vamos analisar a derivada primeira em torno desses pontos:

Vemos que em x = 1 temos uma mudança na derivada, mas não é pontos de mínimo/máximo pois ali a derivada não é zero! Já em x = 0 a função tem uma derivada nula, mas não chega a trocar de sinal, então pode ser só ponto de inflexão. E por fim em x = 3 temos um ponto de mínimo.

Temos também onde a função é crescente e decrescente:

  • Crescente: 0,1   e   ( 3 , + ∞ )
  • Decrescente: ( 1,3 )  
  • Ponto de inflexão: x = 0 e x = 1
  • Ponto de mínimo: x = 3
  • Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada segunda:

    f ' x = x 2 ( x - 3 ) x - 1 3

    f ' ' x = 6 x x - 1 4

    Agora igual a zero

    6 x x - 1 4 = 0 → 6 x = 0

    x = 0  

    Analisando o sinal em torno desse ponto (e em torno onde a função não está definida):

    Temos aqui os intervalos de concavidade da função:

    • Côncava para cima: 0 , + ∞
    • Côncava para baixo: - ∞ , 0    

    E é isso! Até a parte dois!

    Resposta

  • Crescente: 0,1   e   ( 3 , + ∞ )
  • Decrescente: ( 1,3 )  
  • Ponto de inflexão: x = 0 e x = 1
  • Ponto de mínimo: x = 3
  • Côncava para cima: 0 , + ∞
  • Côncava para baixo: - ∞ , 0    

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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