Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

f(x) = ln(x) / x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = ln ⁡ x x

Agora nessa parte dois vamos determinar as assíntotas!

  • Assíntotas horizontais são quando fazemos o limite da função para ± ∞ e achamos um valor finito a . A equação vai ser do tipo y = a
  • Assíntotas verticais são quando calculamos o limite da função para um ponto de indeterminação b e temos como resultado o infinito. A equação será do tipo x = b

E juntando isso com todos os itens encontrados na parte 1, vamos poder esboçar o gráfico bem bonitinho!

Recordando o que achamos na parte 1:

  • Crescente: 0 , e  
  • Decrescente: ( e ,   + ∞ )  
  • Ponto de máximo: x = e
  • Côncava para cima: e 3 / 2 , + ∞
  • Côncava para baixo: 0 , e 3 / 2    
  • Beleza?

    Bora lá!

    Passo 2

    Nossa função é

    f x = ln ⁡ x x

    Calculando o limite quando x → + ∞

    lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = ⏝ L ' h o s p i t a l lim x → + ∞ ⁡ 1 x = 0

    Temos uma assíntota em em x = 0 quando x → + ∞ .

    Beleza?

    A função não está definida para x → - ∞ , então não precisamos analisar!

    Passo 3

    Agora vamos analisar os possíveis pontos de descontinuidade da função

    f x = ln ⁡ x x

    Como temos um denominador que zera em x = 0 precisamos analisar os limites em torno desse ponto! O logaritmo não existe para 0 - , então vamos analisar só para 0 +

    lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x = - ∞ 0 + = - ∞

    Temos uma assíntota vertical em x = 0

    Passo 4

    Bora construir o gráfico?

    f x = ln ⁡ x x

    Ela tem de características:

  • Crescente: 0 , e  
  • Decrescente: ( e ,   + ∞ )  
  • Ponto de máximo: x = e
  • Côncava para cima: e 3 / 2 , + ∞
  • Côncava para baixo: 0 , e 3 / 2    
  • Assíntotas horizontal em x = 0
  • Assíntota vertical em y = 0

E é isso! Até mais!

Resposta

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