Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

g(f(x)) = e^x / x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = e x x

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as assíntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = e x x

f ' x = x e x - e x x 2

E onde ela é zero

f ' x = 0

x e x - e x x 2 = 0 → x e x - e x = 0

x = 1  

E precisamos analisar em torno de   0 pois nesse ponto a função não está definida

Beleza?

Vamos analisar a derivada primeira em torno desses pontos:

Vemos que em x = 1 temos uma mudança na derivada, de valores negativos para positivos. Sendo assim temos um ponto de mínimo!

Temos também onde a função é crescente e decrescente:

  • Crescente: 1 , + ∞  
  • Decrescente: ( - ∞ ,   0 ) U ( 0,1 )  
  • Ponto de mínimo: x = 1
  • Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada segunda:

    f ' x = x e x - e x x 2

    f ' ' x = e x x 2 - 2 x - 1 x 3

    Agora igual a zero

    e x x 2 - 2 x - 1 x 3 = 0 → e x x 2 - 2 x - 1 = 0

    x 2 - 2 x + 2 = 0 → n ã o   t e m   s o l u ç ã o   r e a l

    Então precisamos analisar em torno de 0

    Temos aqui os intervalos de concavidade da função:

    • Côncava para cima: 0 , + ∞
    • Côncava para baixo: - ∞ , 0    

    E é isso! Até a parte dois!

    Resposta

  • Crescente: 1 , + ∞  
  • Decrescente: ( - ∞ ,   0 ) U ( 0,1 )  
  • Ponto de mínimo: x = 1
  • Côncava para cima: 0 , + ∞
  • Côncava para baixo: - ∞ , 0    

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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