Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

g(f(x)) = e^x / x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = e x x

Agora nessa parte dois vamos determinar as assíntotas!

  • Assíntotas horizontais são quando fazemos o limite da função para ± ∞ e achamos um valor finito a . A equação vai ser do tipo y = a
  • Assíntotas verticais são quando calculamos o limite da função para um ponto de indeterminação b e temos como resultado o infinito. A equação será do tipo x = b

E juntando isso com todos os itens encontrados na parte 1, vamos poder esboçar o gráfico bem bonitinho!

Recordando o que achamos na parte 1:

  • Crescente: 1 , + ∞  
  • Decrescente: ( - ∞ ,   0 ) U ( 0,1 )  
  • Ponto de mínimo: x = 1
  • Côncava para cima: 0 , + ∞
  • Côncava para baixo: - ∞ , 0    
  • Beleza?

    Bora lá!

    Passo 2

    Nossa função é

    f x = e x x

    Calculando o limite quando x → + ∞

    lim x → + ∞ ⁡ e x x = ⏝ L ' h o s p i t a l lim x → + ∞ ⁡ e x 1 = + ∞

    Sendo assim para grandes valores de x a função explode.

    E quando x → - ∞

    lim x → - ∞ ⁡ e x x = ⏝ L ' h o s p i t a l lim x → - ∞ ⁡ e x 1 = 1 ∞ = 0

    Temos uma assíntota em em x = 0 quando x → - ∞ .

    Beleza?

    Passo 3

    Agora vamos analisar os possíveis pontos de descontinuidade da função

    f x = e x x

    Como temos um denominador que zera em x = 0 precisamos analisar os limites em torno desse ponto! O logaritmo não existe para 0 - , então vamos analisar só para 0 +

    lim x → 0 + ⁡ e x x = 1 0 + = + ∞

    Temos uma assíntota vertical em x = 0

    E para 0 -

    lim x → 0 - ⁡ e x x = 1 0 - = - ∞

    Temos que pela esquerda há uma assíntota também!

    Passo 4

    Bora construir o gráfico?

    f x = e x x

    Ela tem de características:

  • Crescente: 1 , + ∞  
  • Decrescente: ( - ∞ ,   0 ) U ( 0,1 )  
  • Ponto de mínimo: x = 1
  • Côncava para cima: 0 , + ∞
  • Côncava para baixo: - ∞ , 0    
  • Assíntotas horizontal para esquerda em x = 0
  • Assíntota vertical em y = 0 pelos dois lados

E é isso! Até mais!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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