Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

h )   f x = x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as assíntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2

f ' x = - 5 x - 4 x + 2 2 + 1

E onde ela é zero

f ' x = 0

- 5 x - 4 x + 2 2 = - 1 → x + 2 2 - 5 x - 4 = 0

Resolvendo essa equação encontramos

x = 1 ,   x = 0  

E precisamos analisar em torno de - 2 pois nesse ponto a função não está definida

Beleza?

Vamos analisar a derivada primeira em torno desses pontos:

Vemos que em x = 1 temos uma mudança na derivada, de valores negativos para positivos. Sendo assim temos um ponto de mínimo! E em torno de 0 temos um ponto de máximo.

Temos também onde a função é crescente e decrescente:

  • Crescente: - 2 , 0 U ( 1 , + ∞ )  
  • Decrescente: ( 0,1 )  
  • Ponto de mínimo: x = 1 . Ponto de máximo: x = 0
  • Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada segunda:

    f ' x = - 5 x - 4 x + 2 2 + 1

    f ' ' x = - - 5 x + 2 x + 2 3

    Agora igual a zero:

    - - 5 x + 2 x + 2 3 = 0 → - 5 x + 2 = 0

    x = 2 5

    Então precisamos analisar em torno de 2 5

    Temos aqui os intervalos de concavidade da função:

    • Côncava para cima: 2 5 , + ∞
    • Côncava para baixo: - 2 , 2 5    

    E é isso! Até a parte dois!

    Resposta

  • Crescente: - 2,0 U ( 1 , + ∞ )  
  • Decrescente: ( 0,1 )  
  • Ponto de mínimo: x = 1 . Ponto de máximo: x = 0
  • Côncava para cima: 2 5 , + ∞
  • Côncava para baixo: - 2 , 2 5    

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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