Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

h) f(x) = x - 5 * ln(x + 2) - 6 / (x + 2)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2

Agora nessa parte dois vamos determinar as assíntotas!

  • Assíntotas horizontais são quando fazemos o limite da função para ± ∞ e achamos um valor finito a . A equação vai ser do tipo y = a
  • Assíntotas verticais são quando calculamos o limite da função para um ponto de indeterminação b e temos como resultado o infinito. A equação será do tipo x = b

E juntando isso com todos os itens encontrados na parte 1, vamos poder esboçar o gráfico bem bonitinho!

Recordando o que achamos na parte 1:

  • Crescente: - 2,0 U ( 1 , + ∞ )  
  • Decrescente: ( 0,1 )  
  • Ponto de mínimo: x = 1 . Ponto de máximo: x = 0
  • Côncava para cima: 2 5 , + ∞
  • Côncava para baixo: - 2 , 2 5    
  • Beleza?

    Bora lá!

    Passo 2

    Nossa função é

    f x = x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2

    Calculando o limite quando x → + ∞

    lim x → + ∞ ⁡ x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2 = + ∞

    Sendo assim para grandes valores de x a função explode.

    Beleza?

    A função não está definida para x → - ∞

    Passo 3

    Agora vamos analisar os possíveis pontos de descontinuidade da função

    f x = x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2

    Como temos um denominador que zera em x = - 2 precisamos analisar os limites em torno desse ponto! O logaritmo não existe para - 2 - , então vamos analisar só para - 2 +

    lim x → - 2 - ⁡ x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2 = 1 0 - = - ∞

    Temos uma assíntota vertical em x = - 2 pela esquerda

    Passo 4

    Bora construir o gráfico?

    f x = x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2

    Ela tem de características:

  • Crescente: - 2,0 U ( 1 , + ∞ )  
  • Decrescente: ( 0,1 )  
  • Ponto de mínimo: x = 1 . Ponto de máximo: x = 0
  • Côncava para cima: 2 5 , + ∞
  • Côncava para baixo: - 2 , 2 5    
  • Côncava para baixo: - ∞ , 0    
  • Assíntota vertical em y = - 2 pela esquerda

E é isso! Até mais!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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