Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

i) f(x) = arctan(ln(x))

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = arctan ⁡ ln ⁡ x

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as assíntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = arctan ⁡ ln ⁡ x

f ' x = 1 x ln 2 ⁡ x + 1

E onde ela é zero

f ' x = 0

1 x ln 2 ⁡ x + 1 = 0 → n ã o   t e m o s   s o l u ç ã o   r e a l

E precisamos analisar em torno de 0 pois nesse ponto a função não está definida. Além disso, o domínio dessa função é x > 0 .

Beleza?

Vemos que a derivada é sempre positiva, portanto a função é sempre crescente e não tem um extremo.

  • Crescente: ( 0 , + ∞ )
  • Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada segunda:

    f ' x = 1 x ln 2 ⁡ x + 1

    f ' ' x = - ln 2 ⁡ x + 1 + 2 ln ⁡ x x 2 ln 2 ⁡ x + 1 2

    Vemos que a segunda derivada é sempre negativa, não importa o valor que x assuma. Sendo assim, nossa função é sempre côncava para baixo:

    • Côncava para baixo: 0 , + ∞    

    E é isso! Até a parte dois!

    Resposta

  • Crescente: ( 0 , + ∞ )
  • Côncava para baixo: 0 , + ∞    

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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