Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

f(x) = arctan(ln(x))

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = arctan ⁡ ln ⁡ x

Agora nessa parte dois vamos determinar as assíntotas!

  • Assíntotas horizontais são quando fazemos o limite da função para ± ∞ e achamos um valor finito a . A equação vai ser do tipo y = a
  • Assíntotas verticais são quando calculamos o limite da função para um ponto de indeterminação b e temos como resultado o infinito. A equação será do tipo x = b

E juntando isso com todos os itens encontrados na parte 1, vamos poder esboçar o gráfico bem bonitinho!

Recordando o que achamos na parte 1:

  • Crescente: ( 0 , + ∞ )
  • Côncava para baixo: 0 , + ∞    
  • Beleza?

    Bora lá!

    Passo 2

    Nossa função é

    f x = arctan ⁡ ln ⁡ x

    Calculando o limite quando x → + ∞

    lim x → + ∞ ⁡ arctan ⁡ ln ⁡ x = π 2

    Sendo assim para grandes valores de x temos uma assíntota horizontal em y = π 2

    Beleza?

    A função não está definida para x → - ∞

    Passo 3

    Agora vamos analisar os possíveis pontos de descontinuidade da função

    f x = arctan ⁡ ln ⁡ x

    Como temos que o logaritmo tem uma assíntota em x = 0 , precisamos analisar o limite da nossa função para x → 0 +

    lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ ln ⁡ x = arctan ⁡ ( - ∞ ) = - π 2

    Temos que f 0 + = - π 2 . Além disso temos uma raiz em x = 1

    Passo 4

    Bora construir o gráfico?

    f x = arctan ⁡ ln ⁡ x

    Ela tem de características:

  • Crescente: ( 0 , + ∞ )
  • Côncava para baixo: 0 , + ∞    
  • Raiz: x = 1
  • f 0 + = - π 2
  • Assíntota vertical: y = π 2

E é isso! Até mais!

Resposta

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