Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

f(x) = x^2 * ln(x)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x 2 ln ⁡ x

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as assíntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = x 2 ln ⁡ x

f ' x = 2 x ln ⁡ x + x

E onde ela é zero

f ' x = 0

2 x ln ⁡ x + x = 0 → x ( 2 ln ⁡ x + 1 ) = 0

Resolvendo essa equação encontramos

  x = 0 ,   x = 1 e  

Beleza?

Vamos analisar a derivada primeira em torno desses pontos:

Vemos que em x = 1 / e temos uma mudança na derivada, de valores negativos para positivos. Sendo assim temos um ponto de mínimo! E a função não está definida para x = 0 , lembrando que o domínio da nossa função é x > 0

Temos também onde a função é crescente e decrescente:

  • Crescente: ( 1 / e , + ∞ )  
  • Decrescente: ( 0,1 / e )  
  • Ponto de mínimo: x = 1 / e
  • Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada segunda:

    f ' x = 2 x ln ⁡ x + x

    f ' ' x = 2 ln ⁡ x + 3

    Agora igual a zero:

    2 ln ⁡ x + 3 = 0 → ln ⁡ x = - 3 / 2

    x = 1 e 3

    Então precisamos analisar em torno desse ponto

    Temos aqui os intervalos de concavidade da função:

    • Côncava para cima: 1 e 3 , + ∞
    • Côncava para baixo: 0 , 1 e 3    

    E é isso! Até a parte dois!

    Resposta

  • Crescente: ( 1 / e , + ∞ )  
  • Decrescente: ( 0,1 / e )  
  • Ponto de mínimo: x = 1 / e
  • Côncava para cima: 1 e 3 , + ∞
  • Côncava para baixo: 0 , 1 e 3    

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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