Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

k) f(x) = e^(-1/x) / x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = e - 1 x x

Agora nessa parte dois vamos determinar as assíntotas!

  • Assíntotas horizontais são quando fazemos o limite da função para ± ∞ e achamos um valor finito a . A equação vai ser do tipo y = a
  • Assíntotas verticais são quando calculamos o limite da função para um ponto de indeterminação b e temos como resultado o infinito. A equação será do tipo x = b

E juntando isso com todos os itens encontrados na parte 1, vamos poder esboçar o gráfico bem bonitinho!

Recordando o que achamos na parte 1:

  • Crescente: 0,1
  • Decrescente: ( - ∞ ,   0 ) U ( 1 , + ∞ )
  • Ponto de máximo: x = 1
  • Côncava para baixo: 2 - 2 2 ,   2 + 2 2    
  • Côncava para cima: 0 , 2 - 2 2 U 2 + 2 2 , + ∞
  • Beleza?

    Bora lá!

    Passo 2

    Nossa função é

      f x = e - 1 x x

    Calculando o limite quando x → + ∞

    lim x → + ∞ ⁡ e - 1 x x = 0

    Sendo assim para grandes valores de x temos uma assíntota horizontal em y = 0

    Beleza? Agora para x → - ∞

    lim x → + ∞ ⁡ e - 1 x x = 0

    Também temos assíntota horizontal para - ∞ !

    Passo 3

    Agora vamos analisar os possíveis pontos de descontinuidade da função

      f x = e - 1 x x

    Como temos que o denominador zera em x = 0 , precisamos analisar o limite da nossa função para x → 0 + e para 0 -

    lim x → 0 + ⁡ e - 1 x x = ⏝ L ' h o s p i t a l 0

    = 0

    Temos que f 0 + = 0 . Agora para 0 - :

    lim x → 0 - ⁡ e - 1 x x = - ∞

    Sendo assim temos uma assíntota vertical pela esquerda em x = 0

    Passo 4

    Bora construir o gráfico?

    f x = e - 1 x x

    Ela tem de características:

  • Crescente: 0,1
  • Decrescente: ( - ∞ ,   0 ) U ( 1 , + ∞ )
  • Ponto de máximo: x = 1
  • Côncava para baixo: 2 - 2 2 ,   2 + 2 2    
  • Côncava para cima: 0 , 2 - 2 2 U 2 + 2 2 , + ∞
  • f 0 + = 0
  • Assíntota vertical: x = 0 pela esquerda
  • Assíntota horizontal: y = 0 para os dois lados

E é isso! Até mais!

Resposta

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