Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

l) f(x) = (3 - 6/x) * e^(2/x)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = 3 - 6 x e 2 / x

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as assíntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = 3 - 6 x e 2 / x

f ' x = 12 e 2 x x 3

E onde ela é zero

f ' x = 0

Não temos ponto onde a derivada se anula, isso significa que não temos extremos.

0 pois nesse ponto a função não está definida.

Beleza?

  • Crescente: 0 , + ∞
  • Decrescente: ( - ∞ ,   0 )
  • Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada segunda:

    f ' x = 12 e 2 x x 3

    f ' ' x = - 12 e 2 x ( 3 x + 2 ) x 5

    f ' ' = 0 → 3 x + 2 = 0

      x = - 2 3  

    Vemos que a função troca de concavidade! Sendo assim, quanto ao sinal da concavidade:

    • Côncava para baixo: - ∞ , - 2 3  
    • Côncava para cima: - 2 3 , + ∞

    E é isso! Até a parte dois!

    Resposta

  • Crescente: 0 , + ∞
  • Decrescente: ( - ∞ ,   0 )
  • Côncava para baixo: - ∞ , - 2 3  
  • Côncava para cima: - 2 3 , + ∞

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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