Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

l(f(x)) = (3 - 6/x) * e^(2/x)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = 3 - 6 x e 2 / x

Agora nessa parte dois vamos determinar as assíntotas!

  • Assíntotas horizontais são quando fazemos o limite da função para ± ∞ e achamos um valor finito a . A equação vai ser do tipo y = a
  • Assíntotas verticais são quando calculamos o limite da função para um ponto de indeterminação b e temos como resultado o infinito. A equação será do tipo x = b

E juntando isso com todos os itens encontrados na parte 1, vamos poder esboçar o gráfico bem bonitinho!

Recordando o que achamos na parte 1:

  • Crescente: 0 , + ∞
  • Decrescente: ( - ∞ ,   0 )
  • Côncava para baixo: - ∞ , - 2 3  
  • Côncava para cima: - 2 3 , + ∞
  • Beleza?

    Bora lá!

    Passo 2

    Nossa função é

      f x = 3 - 6 x e 2 / x

    Calculando o limite quando x → + ∞

    lim x → + ∞ ⁡ 3 - 6 x e 2 / x = 3

    Sendo assim para grandes valores de x temos uma assíntota horizontal em y = 3

    E para - ∞

    lim x → - ∞ ⁡ 3 - 6 x e 2 / x = 3

    ok?

    Também temos assíntota horizontal para - ∞ !

    Beleza?

    Passo 3

    Agora vamos analisar os possíveis pontos de descontinuidade da função

      f x = 3 - 6 x e 2 / x

    Como temos que o denominador zera em x = 0 , precisamos analisar o limite da nossa função para x → 0 + e para 0 -

    lim x → 0 + ⁡ 3 - 6 x e 2 / x = - 6 0 + = - ∞

    Temos que x = 0 é uma assíntota vertical pela direita. Agora para 0 - :

    lim x → 0 - ⁡ 3 - 6 x e 2 x = lim x → 0 - ⁡ 3 - 6 x e - 2 x = ∞ ∞

    Vamos aplicar a regra de L’hospital e avaliar novamente o limite

    = lim x → 0 - ⁡ 6 / x 2 2 e - 2 x / x 2 = lim x → 0 - ⁡ 3 e 2 / x = 0

    Sendo assim temos que pela esquerda f 0 - = 0

    Passo 4

    Bora construir o gráfico?

    f x = 3 - 6 x e 2 / x

    Ela tem de características:

  • Crescente: 0 , + ∞
  • Decrescente: ( - ∞ ,   0 )
  • Côncava para baixo: - ∞ , - 2 3  
  • Côncava para cima: - 2 3 , + ∞
  • f 0 - = 0
  • Assíntota vertical: x = 0 pela direita
  • Assíntota horizontal: y = 3 para os dois lados

E é isso! Até mais!

Resposta

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