Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

n) f(x) = ln(2x) - ln(3x^2 + 3)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = ln ⁡ 2 x - ln ⁡ 3 x 2 + 3

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as assíntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = ln ⁡ 2 x - ln ⁡ 3 x 2 + 3

f ' x = 1 x - 2 x x 2 + 1 = x 2 + 1 - 2 x 2 x ( x 2 + 1 )

f ' x = - 1 - x 2 x ( x 2 + 1 )

E onde ela é zero

f ' x = 0

- 1 - x 2 = 0

Não temos ponto que satisfaça essa equação no domínio dos reais. E como a derivada é sempre negativa, nossa função é sempre decrescente.

Beleza?

Podemos ver onde a função é crescente e decrescente:

  • Decrescente: ( 0 , + ∞ )
  • Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada segunda:

    f ' x = - 1 - x 2 x ( x 2 + 1 )

    f ' ' x = 1 x 2

    f ' ' = 0 → n ã o   t e m   r a i z   r e a l

    Analisando o sinal da segunda derivada temos que a fiunção é sempre positiva, pois x > 0 é nosso domínio.

    • Côncava para cima: 0 , + ∞

    E é isso! Até a parte dois!

    Resposta

  • Decrescente: ( 0 , + ∞ )
  • Côncava para cima: 0 , + ∞

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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