Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

n) f(x) = ln(2x) - ln(3x^2 + 3)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = ln ⁡ ( 2 x ) - ln ⁡ ( 3 x 2 + 3 )

Agora nessa parte dois vamos determinar as assíntotas!

  • Assíntotas horizontais são quando fazemos o limite da função para ± ∞ e achamos um valor finito a . A equação vai ser do tipo y = a
  • Assíntotas verticais são quando calculamos o limite da função para um ponto de indeterminação b e temos como resultado o infinito. A equação será do tipo x = b

E juntando isso com todos os itens encontrados na parte 1, vamos poder esboçar o gráfico bem bonitinho!

Recordando o que achamos na parte 1:

  • Decrescente: ( 0 , + ∞ )
  • Côncava para cima: 0 , + ∞
  • Beleza?

    Bora lá!

    Passo 2

    Nossa função é

      f x = ln ⁡ ( 2 x ) - ln ⁡ ( 3 x 2 + 3 )

    Calculando o limite quando x → + ∞

    lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ ( 2 x ) - ln ⁡ ( 3 x 2 + 3 ) = ∞ - ∞

    Precisamos arrumar antes de aplicar a regra de L’hospital

    lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 3 x 2 + 3 = ln ⁡ lim n → + ∞ ⁡ 2 x 3 x 2 + 3

    Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite

    = ln ⁡ 2 6 x → 0 = - ∞

    Sendo assim para grandes valores de x não temos uma assíntota!

    E para - ∞ a função não está definida!

    ok?

    Beleza?

    Passo 3

    Agora vamos analisar os possíveis pontos de descontinuidade da função

      f x = ln ⁡ ( 2 x ) - ln ⁡ ( 3 x 2 + 3 )

    Como temos que o logaritmo tem problema em x = 0 , precisamos analisar o limite da nossa função para x → 0 + (já que pelo lado esquerdo ela não está definida)

    lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( 2 x ) - ln ⁡ ( 3 x 2 + 3 ) = + ∞

    Temos que x = 0 é uma assíntota vertical pela direita.

    Passo 4

    Bora construir o gráfico?

    ln ⁡ ( 2 x ) - ln ⁡ ( 3 x 2 + 3 )

    Ela tem de características:

  • Decrescente: ( 0 , + ∞ )
  • Côncava para cima: 0 , + ∞
  • x = 0 pela direita

E é isso! Até mais!

Resposta

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