Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

o )   f x = x 3 - x 2 3

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x 3 - x 2 3

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as assíntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = x 3 - x 2 3

f ' x = 3 x 2 - 2 x 3 x 3 - x 2 2 / 3

E onde ela é zero

f ' x = 0

3 x 2 - 2 x = 0

x 3 x - 2 = 0

x = 0 ,   x = 2 3

Temos um ponto de mínimo em x = 2 / 3 e um ponto de descontinuidade em x = 0 , já que há troca de derivada, porém em x = 0 a função não é derivável

Beleza?

Podemos ver onde a função é crescente e decrescente:

  • Decrescente: ( 0 , + ∞ )
  • Crescente: - ∞ ,   0 U 2 3 , + ∞
  • Ponto de mínimo: x = 2 / 3
  • Descontinuidade da derivada: x = 0
  • Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada segunda:

    f ' x = 3 x 2 - 2 x 3 x 3 - x 2 2 / 3

    f ' ' x = - 2 x 2 9 x 3 - x 2 5 / 3

    f ' ' = 0 → 2 x 2 = 0 ∴ x = 0

    Mas nesse ponto a derivada não está definida, assim como em x = 1 :

    Analisando o sinal da segunda derivada temos que a fiunção é sempre positiva, pois x > 0 é nosso domínio.

    • Côncava para cima: - ∞ , 1
    • Côncava para baixo: ( 1 , + ∞ )

    E é isso! Até a parte dois!

    Resposta

  • Decrescente: ( 0 , + ∞ )
  • Crescente: - ∞ ,   0 U 2 3 , + ∞
  • Ponto de mínimo: x = 2 / 3
  • Descontinuidade da derivada: x = 0
  • Côncava para cima: - ∞ , 1
  • Côncava para baixo: ( 1 , + ∞ )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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