Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

f(x) = e^x - e^(3x)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = e x - e 3 x

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as ass��ntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = e x - e 3 x

f ' x = e x - 3 e 3 x

E onde ela é zero

f ' x = 0

e x - 3 e 3 x = 0

e - 2 x = 3 → x = - ln ⁡ 3 2

Vamos analisar em torno desse ponto o sinal da derivada

Temos um ponto de máximo em x = - ln ⁡ 3 2

Beleza?

Podemos ver onde a função é crescente e decrescente:

  • Decrescente: - ln ⁡ 3 2 , + ∞
  • Crescente: - ∞ ,   - ln ⁡ 3 2
  • Ponto de máximo: x = - ln ⁡ 3 2
  • Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada segunda:

    f ' x = e x - 3 e 3 x

    f ' ' x = e x - 9 e 3 x

    f ' ' = 0 → x = - ln ⁡ 3

    Mas nesse ponto vamos verificar a concavidade da função

    Analisando o sinal da segunda derivada temos que a fiunção é sempre positiva, pois x > 0 é nosso domínio.

    • Côncava para cima: - ∞ , - ln ⁡ 3
    • Côncava para baixo: ( - ln ⁡ 3 , + ∞ )

    E é isso! Até a parte dois!

    Resposta

  • Decrescente: - ln ⁡ 3 2 , + ∞
  • Crescente: - ∞ ,   - ln ⁡ 3 2
  • Ponto de máximo: x = - ln ⁡ 3 2
  • Côncava para cima: - ∞ , - ln ⁡ 3
  • Côncava para baixo: ( - ln ⁡ 3 , + ∞ )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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