Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

Parte 1: determine os pontos de máximos, mínimos, inflexão, bem como os intervalos das concavidades

Parte 2: determine as assíntotas (quando existirem) e o esboço do gráfico.

f(x) = 3 + x / (x^2 + 1)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = 3 + x x 2 + 1

Agora nessa parte dois vamos determinar as assíntotas!

  • Assíntotas horizontais são quando fazemos o limite da função para ± ∞ e achamos um valor finito a . A equação vai ser do tipo y = a
  • Assíntotas verticais são quando calculamos o limite da função para um ponto de indeterminação b e temos como resultado o infinito. A equação será do tipo x = b

E juntando isso com todos os itens encontrados na parte 1, vamos poder esboçar o gráfico bem bonitinho!

Recordando o que achamos na parte 1:

  • Crescente: - 1 , + 1
  • Decrescente: - ∞ , - 1   e   ( 1 , + ∞ )
  • Côncava para cima: - 3 , 0     e   3 , + ∞
  • Côncava para baixo: - ∞ , - 3   e   0 , 3
  • Mínimo local: x = - 1 ,   máximo local: x = 1
  • Beleza?

    Bora lá!

    Passo 2

    Nossa função é

    f x = 3 + x x 2 + 1

    Calculando o limite quando x → + ∞

    lim x → + ∞ ⁡ 3 + x x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 + 3 + x x 2 + 1

    No infinito apenas os termos de maiores potência sobrevivem, assim

    lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 x 2 = 3

    y = 3 . Tranquilo?

    E para x → - ∞

    lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 + 3 + x x 2 + 1 = 3

    Ou seja, temos assíntotas horizontais tanto para a direita quanto para esquerda!

    Passo 3

    Agora vamos analisar os possíveis pontos de descontinuidade da função

    f x = 3 + x x 2 + 1

    Como temos um denominador que é impossível ser nulo, não temos indeterminação! Portanto, sem assíntotas verticais

    Passo 4

    Bora construir o gráfico?

    f x = 3 + x x 2 + 1

    Ela tem de características:

  • Crescente: - 1 , + 1
  • Decrescente: - ∞ , - 1   e   ( 1 , + ∞ )
  • Côncava para cima: - 3 , 0     e   3 , + ∞
  • Côncava para baixo: - ∞ , - 3   e   0 , 3
  • Mínimo local: x = - 1 ,   máximo local: x = 1
  • Não possui assíntotas verticais.
  • Assíntota horizontal: y = 3
  • f 0 = 3

E é isso! Até mais!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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