Esboce o gráfico de .

Para que valores de a curva corta a reta ?

Vamos observar o crescimento da função; para isso analisamos o sinal da derivada primeira. Vamos derivar o termo pela Regra do Produto e da cadeia:

Como a exponencial é sempre positiva e a parábola não possui raízes reais (pode aplicar Bhaskara para ver isso) e tem concavidade para cima nós vemos que o sinal da derivada vai depender só do , que é positivo para e negativo para !

A função é decrescente em e crescente em . será o único ponto crítico, que consistirá em um máximo local, já que a derivada é positiva antes e negativa depois.

Vamos olhar a derivada segunda agora e a concavidade. Vamos, novamente pela Regra do Produto:

Para esse termo, se chamarmos , teríamos a parábola . Por Bhaskara, acharíamos as raízes e . Como queremos só soluções reais, os valores de que zeram esse termo serão:

Serão pontos de inflexão. Fazemos a seguinte divisão polinomial:

Então o termo da derivada segunda pode ser escrito como:

Podemos fazer o quadro de sinais para esse cara, já lembrando que a exponencial e o são positivos e o sinal só depende do e do .

A gente vai reparar que a concavidade é para cima quando e para baixo quando está em .

Ponto de inflexão em , .

Assíntotas agora. As verticais estão relacionadas com as descontinuidades, ou seja, não teremos nenhuma delas para essa função.

Para assíntotas horizontais temos que lançar o limite para e :

Uma assíntota horizontal em , para os . Assim, não haverão assíntotas oblíquas.

Agora reunimos as informações que já achamos:

Vamos para o esboço, sendo e :

Vamos igualar as equações para :

Repara é como se fosse o que vimos na letra . A imagem da função, segundo o gráfico, vai de , sem nunca assumir esse valor, até , valor máximo no ponto . Ou seja, os valores de que gerariam um encontro entre as curvas sãos os valores de que correspondam ao seguinte: