Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:

f(x) = (2 * x^3) / (x^2 - 1)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e nos pede esboçar o seu gráfico.

Para isso, temos que determinar o domínio da função, encontrar as intersecções nos eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, entre várias coisas.

Assim, vamos determinar uma característica dessas em cada passo, combinadinho?

Agora vamos lá!!

😉

Passo 2

Então... vamos verificar primeiro o domínio da função.

Para isso, precisamos considerar os valores de x para os quais a função está definida.

Vemos que o denominador não pode ser zero, ou seja:

x 2 - 1 ≠ 0 ∴

x ≠ ± 1

Passo 3

Para encontrarmos a intersecção como eixo x , fazemos f x = 0 :

2 x 3 x 2 - 1 = 0 ∴

2 x 3 = 0 ∴

x = 0

Para encontrarmos a intersecção como eixo y , fazemos x = 0 :

y = 2 0 3 0 2 - 1 ∴

y = 0

Passo 4

Para verificarmos se f x tem simetria, temos que saber que:

  • Simetria Par: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f ( - x ) = f ( x ) ;
  • Simetria Ímpar: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f - x = - f ( x ) .

Fazendo f - x , temos:

f - x = 2 - x 3 - x 2 - 1 = - 2 x 3 x 2 - 1

Logo, vemos que f x apresenta simetria ímpar.

Passo 5

Para verificarmos se a função apresenta assíntotas verticais, vamos fazer o denominador se anular, temos:

x 2 - 1 = 0 ∴

x = ± 1

A função apresenta assíntotas verticais em x = ± 1 .

Passo 6

Para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, vamos derivar a função e depois igualar a zero.

d d x 2 x 3 x 2 - 1 = 2 x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2

2 x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2 = 0 ∴

x = ± 3

Assim, observamos que:

f x   c r e s c e n t e   p a r a   x < - 3 f x   d e c r e s c e n t e   p a r a   - 3 < x < - 1 f x   d e c r e s c e n t e   p a r a - 1 < x < 1 f x   d e c r e s c e n t e   p a r a   1 <   x < 3 f x   c r e s c e n t e   p a r a   x > 3

Passo 7

Para verificarmos os pontos de máximo e mínimo, temos que verificar a segunda derivada:

f ' ' x = 4 x x 2 + 3 x 2 - 1 3

Pelo passo 6, descobrimos que x = ± 3 são pontos críticos. Dessa forma, substituindo na derivada segunda, temos:

f ' ' 3 = 4 3 3 2 + 3 3 2 - 1 3 = 3

f ' ' - 3 = 4 - 3 - 3 2 + 3 - 3 2 - 1 3 = - 3

Logo, vemos que o mínimo está em - 3 , - 3 e o máximo em 3 , 3 .

Passo 8

Com base nessas informações, podemos plotar o gráfico:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

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