Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:

b)

f x = x 2 x + 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e nos pede esboçar o seu gráfico.

Para isso, temos que determinar o domínio da função, encontrar as intersecções nos eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, entre várias coisas.

Assim, vamos determinar uma característica dessas em cada passo, combinadinho?

Agora vamos lá!!

😉

Passo 2

Então... vamos verificar primeiro o domínio da função.

Para isso, precisamos considerar os valores de x para os quais a função está definida.

Vemos que o denominador não pode ser zero, ou seja:

x + 1 ≠ 0 ∴

x ≠ - 1

Passo 3

Para encontrarmos a intersecção como eixo x , fazemos f x = 0 :

x 2 x + 1 = 0 ∴

x 2 = 0 ∴

x = 0

Para encontrarmos a intersecção como eixo y , fazemos x = 0 :

y = 0 2 0 + 1 ∴

y = 0

Passo 4

Para verificarmos se f x tem simetria, temos que saber que:

  • Simetria Par: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f ( - x ) = f ( x ) ;
  • Simetria Ímpar: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f - x = - f ( x ) .

Fazendo f - x , temos:

f - x = - x 2 - x + 1 = x 2 - x + 1

Logo, vemos que f x não apresenta simetria.

Passo 5

Para verificarmos se a função apresenta assíntotas verticais, vamos fazer o denominador se anular, temos:

x + 1 = 0 ∴

x = - 1

A função apresenta assíntotas verticais em x = - 1 .

Passo 6

Para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, podemos analisar através do domínio da função, que são todos os números reais diferente de - 1 .

Assim, observamos que:

f x   d e c r e s c e n t e   p a r a - 1 < x < 0 f x c r e s c e n t e   p a r a   x > 0

Passo 7

Para verificarmos os pontos de máximo e mínimo, temos que verificar a segunda derivada:

f ' x = 3 x 2 + 4 x 2 x + 1 x + 1 ∴

f ' ' x = 3 x 2 + 8 x + 8 4 x + 1 5 / 2

Igualando a primeira derivada a zero, encontramos os pontos críticos x = 0 e x = - 4 3 .

Dessa forma, substituindo na derivada segunda, temos:

f ' ' 0 = 3 0 2 + 8 0 + 8 4 0 + 1 5 / 2 = 2

f ' ' - 4 3 = 3 - 4 3 2 + 8 - 4 3 + 8 4 - 4 3 + 1 5 / 2 = 2 27

Logo, vemos que o mínimo está em 0,2 e o máximo em - 4 3 , 2 27 .

Passo 8

Com base nessas informações, podemos plotar o gráfico:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

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