Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:

i)

f(x) = x^2 / (x^2 + 3)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e nos pede esboçar o seu gráfico.

Para isso, temos que determinar o domínio da função, encontrar as intersecções nos eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, entre várias coisas.

Assim, vamos determinar uma característica dessas em cada passo, combinadinho?

Agora vamos lá!!

😉

Passo 2

Então... vamos verificar primeiro o domínio da função.

Para isso, precisamos considerar os valores de x para os quais a função está definida.

Vemos que o denominador não pode ser 0 . No entanto, como x está elevado ao quadrado, não corre risco desse valor ser negativo.

Assim, o domínio são todos os números reais.

Passo 3

Para encontrarmos a intersecção como eixo x , fazemos f x = 0 :

x 2 x 2 + 3 = 0 ∴

x = 0

Para encontrarmos a intersecção como eixo y , fazemos x = 0 :

y = 0 2 0 2 + 3 ∴

y = 0

Passo 4

Para verificarmos se f x tem simetria, temos que saber que:

  • Simetria Par: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f ( - x ) = f ( x ) ;
  • Simetria Ímpar: Uma função f ( x ) é simétrica em relação ao eixo y se para todo x no domínio de f , tivermos f - x = - f ( x ) .

Fazendo f - x , temos:

f - x = - x 2 - x 2 + 3 = x 2 x 2 + 3

Logo, vemos que f x tem simetria par.

Passo 5

As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador se anula. Neste caso, o denominador x 2 + 3 nunca se anula, portanto, não existem assíntotas verticais.

Ao analisar o comportamento de x → ± ∞ , vemos que:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 2 + 3 = 1

E

lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 2 + 3 = 1

Assim, y = 1 é uma assíntota horizontal.

Passo 6

Para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, vamos derivar a função e depois igualar a zero.

d d x x 2 x 2 + 3 = 6 x x 2 + 3 2

6 x x 2 + 3 2 = 0 ∴

x = 0

Assim, observamos que:

f x   d e c r e s c e   p a r a   x < 0 f x   d e c r e s c e   p a r a   x > 0

Passo 7

Pelo passo 6, vimos que x = 0 é um ponto crítico. Assim, substituindo em f x , temos:

f 0 = 0 2 0 2 + 3 = 0

Assim, baseado no crescimento e decrescimento da função, vemos que o ponto 0,0 é um ponto de mínimo.

Passo 8

Com base nessas informações, podemos plotar o gráfico:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

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