6. Uma folha de papelão mede 10 × 15 cm . Dois quadrados iguais, de lado x , são recortados dos vértices de um lado com 10 cm , como mostra a figura. Dois retângulos iguais são recortados dos outros vértices, de modo que as abas possam ser dobradas para formar uma caixa retangular com tampa.

(a) Escreva uma fórmula V(x) para o volume da caixa.

(b) Determine o domínio de V(x) .

(c) Determine o valor de x para que o volume da caixa seja o maior possível.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão estamos interessados em obter a fórmula do volume para uma caixa de altura x e que as medidas da folha de papelão deve ser 10 c m por 15 cm.

Alguma ideia do que fazer? 🤔

O volume de uma caixa é dada pela área da base multiplicada pela altura.

Porém, as dimensões da folha de papelão que usamos é limitada a 10 c m por 15 c m , então não podemos usar qualquer valor.

Vamos ver como fica na prática? 😁

Passo 2

A área da base do papelão é dada por

A b = 10 - 2 x 7,5 - 2 x

A b = 75 - 35 x + 4 x 2

Usamos 7,5 no lugar de 15 pois para a caixa fechar, é necessário que a haja uma tampa de mesmo tamanho da base.

Já o volume é dado pela área da base multiplicada pela altura, ou seja

V x = A b · x

V x = 75 - 35 x + 4 x 2 x

V x = 4 x 3 - 35 x 2 + 75 x

Para obter o domínio de V x vamos olhar para a equação da área da base

A b = 10 - 2 x 7,5 - 2 x

A b nunca pode ser negativo, portanto, x deve ser maior ou igual a 0 e menor ou igual a 3,75 . Pois se x for maior que 3,75 , o termo 7,5 - 2 x fica negativo e fisicamente é como se estivéssemos tirando parte da área da tampa para usar na base, o que não pode acontecer.

D o m V x = x ∈ R 0 ≤ x ≤ 3,75

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Para obter o valor de x para V x atingir seu maior valor, temos que obter os pontos críticos de V x e ver qual é o ponto cuja imagem de V x é maior.

V ' x = 3 · 4 x 3 - 1 - 2 · 35 x 2 - 1 + 75 = 0

12 x 2 - 70 x + 75 = 0

Obtendo as raízes dessa função, chegamos em

x 1 = 5 7 + 13 12 ,     x 2 = 5 7 - 13 12

Ou aproximadamente x 1 = 4,42 e x 2 = 1,41 .

No item anterior, vimos que x tem que estar entre 0 e 3,75 , portanto x 1 está descartado e o ponto que nos dá o maior volume é quando x = 1,41

V 1,41 = 4 1,41 3 - 35 1,41 2 + 75 1,41

V 1,41 = 47,38 c m 3

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a) V x = 4 x 3 - 35 x 2 + 75 x

b) D o m V x = x ∈ R 0 ≤ x ≤ 3,75

c) V 1,41 = 47,38 c m 3

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